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Sascha (Gull)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 14:26: | 
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Hi. Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?
Besten Dank.
Gruß, Sascha. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 17:56: |
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Hi Sascha,
vorausgesetzt werden die Anordnungsaxiome:
1) Für beliebige a,beK ist entweder a<b oder b<a oder a=b
2) Aus a<b und b<c folgt a<c
3) Aus a<b folgt a+c<b+c
4) Aus a<b und 0<c folgt ac<bc
Einige Hilfsaussagen:
Es gilt immer 0<xx
Beweis: Wenn x>0 dann mit Axiom 4) 0<x und 0<x =>0*x<x*x => 0<xx
Für x=1 ergibt sich insbesondere 0<1.
Weiter gilt: wenn x>0 ist auch x-1>0
Beweis: angenommen x-1<0 dann folgt aus Axiom 4), aus x-1<0 und 0<x, daß x-1*x<0. Aber das bedeutete 1<0. Widerspruch.
So nun zu Deiner Aufgabe a)
Sei xy>0. Es ist entweder x<0 oder x>0.
Betrachte x>0. Es ist x-1>0.
Mit Axiom 4) folgt aus 0<x-1 und 0<xy, daß 0<x-1(xy)=(x-1x)y = y. Fertig
Wenn x<0, dann ist x-1<0.
Mit Axiom 4) folgt aus x-1<0 und 0<xy, daß x-1(xy) < 0, also y<0. Fertig.
Reicht das für den Anfang?
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 19:19: |
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Bei 0<xx fehlt noch die Betrachtung des Falles x<0.
Dafür noch eine Hilfsaussage:
Wenn a<0 dann ist 0<(-a)
Beweis: wenn a<0 folgt aus Axiom 3), daß a+(-a)<0+(-a).
Für x<0 kann man also 0<(-x) schreiben.
Dann folgt as 4) wenn 0<(-x) und 0<(-x), dann ist 0<(-x)2.
Nun muß man noch zeigen, daß (-x)2 = x2
Das kann man so sehen, indem man zeigt:
(-a)*b = (-ab) (**)
Beweis: einerseits ist ab + (-ab) = 0
Andererseits ist ab + (-a)b = (a+(-a))b=0b=0
Folglich ist (-ab)=(-a)b
mit a=x und b=-x folgt: (-(x*(-x))) = (-x)*(-x)
und durch nochmalige Anwendung von (**)
(-(-(xx))) = (-x)*(-x)
Das mag's dann gewesen sein. |
Cap23
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 19:37: |
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Hmm, kommt mir doch alles sehr bekannt vor... =)
Die b) hab ich so gemacht:
I.
4xy <= (x+y)²
4xy <= x² +2xy +y²
0 <= x² -2xy +y²
0 <= (x-y)²
Sei k=x-y dann ist 0 <= k² (s.o.)
II.
(x+y)² <= 2(x²+y²)
x² +2xy +y² <= 2x² + 2y²
0 <= x² -2xy +y² (s.o.)
Hat jemand eine bin. Formel fuer die c) gefunden?
Sowas wie (x+y+z)², was dann irgendwie passt? |
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