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Beitrag |
    
Sebastian (sebastian140378)
Neues Mitglied
Benutzername: sebastian140378
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 18:35: | 
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Hallo! Vielleicht bin ich zu dumm im Archiv etwas zu finden, ich suche ein ausführliche Lösung zu folgenden Aufgaben!
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Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 19:06: |
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Hi Sebastian,
irgend etwas stimmt mit deinem Attachment nicht.
Wenn ich die Aufgaben nicht lesen kann, kann ich dir nicht helfen!
Gruß N. |
Walter H. (mainziman)
Neues Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 19:06: |
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Hi Sebastian,
würde Dir gerne helfen, kann aber mit dem Word-File nix anfangen (Word 6.0 bzw. RTF preferred)
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 19:25: |
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Hallo Niels und Walter,
ich habe die Aufgabe mal kopiert und versuche sie hier einzugeben:
VielSpaß beim Lösen. |
Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 10:22: |
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Danke Fern, den Spaß werden wir haben!
Übrigens, du -oder Walter- könntet euch ja mal um das 3. Integral kümmern!
Nun zu dir Sebastian,
bevor wir uns um das erste der drei jungfreulichen Integralen kümmern noch eine Frage:
Geht es um das reine bereichnen von Integralen oder um Flächen?
Ich frage, weil die Funktion f(x)=(2x-x^2)*e^-x bei x=0 und x=2 eine Nullstelle besitzt. Da die Nullstelle x=2 ungünstigerweise im Integrationsbereich liegt ist die Frage ob ich drüber weg integrieren soll oder ob ich die Salamitaktik anwende und erst das Integral von
0 bis 2 und dann nochmal von 2 bis 5 Integriere, wobei dann allerdings der Betrag des 2 Integral dazu addiert werden würen.
Nun zum eigentlichen Integrlal:
òa b(2x-x^2)*e^-x *dx
Meine alten vertrockneten Augen erkennen, das da sich ein schlauer Fuchs gedacht hat das es ja zimlich schwierig sein muss in dem Term f(x) die Ableitung von x^2*e^-x zu erkenen, doch wenn man mal x^2*e^-x tatsächlich nach der Produktregel ableiten und e^-x ausklammern würde, würde exakt dort f(x) stehen!
f(x)=(2x-x^2)*e^-x=>F(x)=x^2*e^-x + C
jetzt müssten nur noch die Modalitäten mit den Grenzen geklärt werden!
Übrigens, wenn du nicht diesen Blick für die versteckte Produktregel hast, kann ich dir noch den ausfürlichen Rechenweg per partieller Integration anbieten.
Der ist aber länger und hat natürlich zum schluß das gleiche Ergebnis natürlich.
viele Grüße N. |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 10:58: |
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Jo den Spaß werd ich haben,
werde es zu lösen versuchen, wenn ich
von der Arbeit nach Hause komme.
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 72
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 15:02: |
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Gut Walter,
dann werde ich mir jetzt das 2. jungfreuliche Integral untern Nagel reißen:
Eigentlich auch ganz easy:
ò3 6 x^2/sqrt(x-2) dx
Nun wenden wir die Substitution u=x-2 an
=>du/dx=1=>du=dx
ò3 6 x^2/sqrt(x-2) dx=ò1 4 (u+2)^2/sqrt(u) du
Salamitaktik:
Im Zähler bin Formel anwenden und dann in Teilintegrale zerlegen!
ò1 4 (u+2)^2/sqrt(u) du=ò1 4 u^2/sqrt(u) du+4ò1 4 u/sqrt(u) du+4ò1 4 1/sqrt(u) du
=ò1 4 u^(3/2) du+4ò1 4 u^(1/2) du+4ò1 4 u^(-1/2) du
=[(2/5)*u^(5/2)+8/3*u^(3/2)+8*u^(1/2)]
obere Grenze 4 untere Grenze 1) oder
=[(2/5)*(x-2)^(5/2)+8/3*(x-2)^(3/2)+8*(x-2)^(1/2)]
obere Grenze 6 untere Grenze 3)
setzt man die Grenzen jeweils ein erhält man am Ende das Resultat:
586/15
====================================0
Gruß N.
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Sebastian (sebastian140378)
Neues Mitglied
Benutzername: sebastian140378
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 16:34: |
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Danke erstmal für die Lösungen. Also es geht nicht nur ums reine Intergieren, zum Schluß sollte ein Ergebnis herraus kommen! Ich habe schon in Bücher geschaut und nach ähnlichen Integralen gesucht... doch leider vergebens! |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 72
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 17:37: |
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Hi,
hier das 3te Integral, wie ich es machen würde;
INT [ -pi, 3pi ] ( cos(mx)sin(nx) dx ) =
u = cos(mx)
du/dx = -sin(mx)*m
dv/dx = sin(nx)
v = -cos(nx)/n
= -cos(nx)cos(mx)/n
- INT [ -pi, 3pi ] ( -sin(mx)*m*(-cos(nx)/n) dx )
= -cos(nx)cos(mx)/n
-m/n * INT [ -pi, 3pi ] ( sin(mx)*cos(nx) dx )
=> INT [ -pi, 3pi ] ( sin(mx)*cos(nx) dx ) =
-cos(nx)cos(mx)/m
-n/m * INT [ -pi, 3pi ] ( sin(nx)*cos(mx) dx )
=> INT [ -pi, 3pi ] ( cos(mx)sin(nx) dx ) =
-cos(nx)cos(mx)/n
-m/n ( -cos(nx)cos(mx)/m
-n/m * INT [ -pi, 3pi ] ( sin(nx)*cos(mx) dx ) )
PARTIELLE INTEGRATION führt nicht zum Ziel, weil sich alles weghebt;
---
eine Nebenrechnung:
sin(mx+nx) = cos(mx)sin(nx) + sin(mx)cos(nx)
Integriere ich die Gleichung erhalte ich links ein Triviales Integral und rechts die Summe zweier Intagrale, welche sich nur durch die Permutation von n und m unterscheiden; gesucht ist aber nur eines der beiden;
---
Also führt folgende Regel zum Ziel:
sin x cos y = ( sin( x - y ) + sin( x + y ) ) / 2
=>
INT [ -pi, 3pi ] ( sin( ( n - m )*x ) +
sin( ( n + m )*x ) dx ) =
--
jetzt heißt es aufpassen, der Fall n = m wird vorerst mal extra behandelt:
INT [ -pi, 3pi ] ( sin( 2*n*x ) dx ) =
-cos( 2*n*x ) / (2*n) + C |3pi-pi =
= -cos( 6*n*pi ) / (2*n) - (-cos( 2*n*pi ) / (2*n)) = 0
Probe vom Original:
INT [ -pi, 3pi ] ( sin( nx ) * cos( nx ) dx ) =
INT [ -pi, 3pi ] ( 2 * sin( nx ) * cos( nx ) dx ) / 2 =
INT [ -pi, 3pi ] ( sin( 2*n*x ) dx ) / 2 =
siehe oben;
--
jetzt der allgemeine Fall n ¹ m:
INT [ -pi, 3pi ] ( sin( ( n - m )*x ) +
sin( ( n + m )*x ) dx ) =
= -cos( ( n - m )*x ) / ( n - m )
- cos( ( n + m )*x ) / ( n + m ) |3pi-pi = -cos( 3*(n-m)*pi )/(n-m)
- cos( 3*(n+m)*pi )/(n+m)
- ( -cos( -(n-m)*pi )/(n-m)
- cos( -(n+m)*pi )/(n+m) ) =
= 1/(n-m)*( cos(n*pi)cos(m*pi) + sin(n*pi)sin(m*pi) - cos(3*n*pi)cos(3*m*pi) - sin(3*n*pi)sin(3*m*pi) )
+/- ...
Hier kommt es auf n bzw. m an, sind beide gerade?
sind beide ungerade? oder ist eine ungerade und die andere gerade?
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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