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Beitrag |
    
Daniel
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 15:45: | 
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Hallo!
Hier eine Übungsaufgabe.
Zeigen Sie, dass gilt:
Sei f eine auf dem Intervall I (Teilmenge von R) stetig diff.bare Funktion
|f(x) - f(y)| <= L |x-y| <=>
|f'(x)| <= L
für alle x,y aus I.
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Jan Martin Krämer (species5672)
Neues Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Juli, 2002 - 22:42: |
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hält man das x bei f'(x) fest oder meinst du das als
|f(x)-f(y)| <= L*|x-y| für alle x,y aus I genau dann, wenn f'(z)<=L für alle z aus I ?
Ich nehme mal an das letzte, dann ist es nämlich einfach ;)
Zuerst die eine Richtung:
Gelte |f(x)-f(y)|<= L|x-y|
OBdA x ungleich y
Dann ist das äquivalent zu
|f(x)-f(y)| / |x-y| = | (f(x)-f(y)) / (x-y) |
<= L|x-y|
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein a aus I so, dass f'(a)= (f(x)-f(y))/ (x-y) (Beträge ändern ja nix)
also muss auch f'(a)<=L
Da mann aber f'(x)=(f(y)-f(x))/(x-y) mit y gegen x müssen alle f' kleiner als L sein.
Umgekehrt sind für f'(z)<=L für alle z aus I auch (f(x)-f(y))/(x-y)<=L
Mir fällt jetzt nur ein Beweis durch Widerspruch ein:
Nehmen wir mal an es gebe x und y so, dass (f(x)-f(y))/(x-y)>L
Nach dem Mittelwertsatz gibt es nun wieder ein a aus(x,y) so, dass f'(a)=(f(y)-f(x))/(y-x), da aber alle f'<=L so müssen dann auch (f(y)-f(x))/(y-x)<=L
Verzeihung für diese extrem holprige Beweisführung aber ich bin irgendwie ein bisschen müde.
Ach ja, <= heißt natürlich nicht folgt aus sondern kleiner gleich} |
Ralph
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 21:42: |
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Hallo!
Der Weg
|f(x) - f(y)| <= L |x-y| ==> |f'(x)| <= L
ist mir nicht klar.
Was wäre, wenn ich die auf dem Intervall I=[2;3] (Teilmenge von R) stetig diff.bare Funktion f mit f(x)=x² nehme?
Mit x=3 und y=2 gilt dann:
|f(3) - f(2)| <= L |3-2|, denn
|9-4| <= L*|1|
5 <= L
die linke Seite von dem Zeichen "==>" ist also erfüllt.
Auf der rechten steht dann aber:
|f'(x)| <= L
f'(x) = 2x, hier also:
|2x| <= L
|x| <= L/2
aber für x=3 € [2;3] gilt dies nicht:
|3| <= 5,5/2 ist eine falsche Aussage.
Habe ich hiermit ein Gegenbeispiel gefunden, das die zu beweisende Aussage widerlegt?
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Jan Martin Krämer (species5672)
Junior Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 00:23: |
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Ok, wenn dir der Weg nicht klar ist dann ist das dumm, besonders dumm ist das, weil das dann an meiner wirren und unstrukturierten Erklärung liegt (Mist)  .
Dein Gegenbeispiel ist keins! ich hab aber 10 Minuten fassungslos draufgestarrt weil ich meinen Beweis eigentlich für richtig halte und trotzdem nicht verstanden hab was an deinem Beispiel hinkte(mein Beweis kann trotzdem falsch sein aber nicht mit deinem "Gegenbeispiel")
Also, du hast einen kleinen, aber entscheidenden Teil vergessen:
|f(x)-f(y)|£ L•|x-y| muss für alle x,y gelten! Für ALLE!
Bei deinem Gegenbeispiel ist zwar |f(3)-f(2)|=5£5•|3-2|=5 aber zum Beispiel
|f(3)-f(2,9)|=0,59³!!!5•|3-2.9|=0,5
Dein L ist also falsch gewählt, denn es wird immer größer, je näher man an die 3 rankommt.
Wenn du L=6 wählst klappt es auch bei deinem Beispiel.
Ich hatte es zwar in meiner 2. Zeile erwähnt das das für alle x,y gelten muss, aber unten wohl weggelassen.
Sag mir bitte was genau du an meinem Beweis nicht verstehst, ich werde mich dann bemühen es strukturiert, vollständig und verständlich zu erklären (ob ich diese hohen Ansprüche erfüllen kann ;) )
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Ralph
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 18:26: |
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aaah, ich fange an, zu verstehen, es heißt ja nicht: "für alle L", sondern es soll wahrscheinlich heißen: "nur für ganz bestimmte L" - ist es richtig, wenn ich das so formuliere:
Für jedes f was die Voraussetzungen erfüllt, gibt es ein ganz bestimmtes L, für das dann die Aussagen beiderseits von dem "<==>" wahr sind? |
Jan Martin Krämer (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 00:42: |
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Jup, genauso
Allerdings ist die Voraussetzung die das f erfüllen muss, dass eine Seite der Äquivalenz gilt ;)
Der Satz lautet also so:
Falls es ein L so gibt, dass für alle x aus I gilt:
|f'(x)|£L.
Dann gilt auch für alle x und y aus I:
|f(x)-f(y)|£L|x-y|
Und andersrum:
Falls es ein L so gibt, dass für alle x und y aus I gilt:
|f(x)-f(y)|£L|x-y|
Dann gilt auch für alle x aus I:
|f'(x)|£L
Also wenn es ein L so gibt, dass eine Seite der Gleichung für alle x (bzw. x und y) gilt, dann gilt auch die andere Seite. |
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