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Achim A.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 17:33: | 
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Hallo.
Für die folgende Aufgabe über die Kardioide finde ich
keine Lösungsmöglichkeit.
Die Aufgabe lautet:
Für die in Polarkoordinaten gegebene Gleichung
r = a [1 + cos(phi)] der Kardioide berechn man den Abstand
p des Pols O von der Tangente t im allgemeinen Punkt P der Kurve.
a) Man stelle p als Funktion von phi dar
b) Wie lautet die Gleichung der Kardioide in den Variablen p, r
Vielen Dank im Voraus
Achim A.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 21:54: |
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Hi Achim,
Für die Lösung Deiner Aufgabe ist einige Vorarbeit notwendig.
A) zu den Bezeichnungen
Die x-Achse ist die Polarachse, der Nullpunkt O ist der Pol des
Polarkoordinatensystems.
Zwischen den rechtwinkligen Koordinaten x,y und den
Polarkoordinaten r, phi gelten die Beziehungen
x = r cos(phi) ; y = r sin(phi)
r = wurzel(x^2 + y^2) ; phi = arctan(y/x)………………………………(1)
B) drei Winkel
Ausser dem Polarwinkel phi benötigen wir zwei weitere Winkel :
psi ist der Richtungswinkel der Tangente t in P bezüglich
der pos.x-Achse,
also der Winkel zwischen der pos.x -Achse und t.
omega ist der Winkel zwischen dem Radiusvektor OP
und der Tangente t.
Zwischen den drei Winkeln gilt die Relation
psi = phi + omega, also omega = psi - phi…………………………(2)
Merke: tan(psi) = dy/dx
C) Berechnung der Differentialquotienten dx /ds und dy /ds
ds ist das Bogenelement, also ds = wurzel [(dx)^2 +(dy)^2]
daraus
a)ds /dx = wurzel[1+ (dy/dx)^2] = wurzel{1+{tan(psi)^2}]
= 1/cos(psi)
also:
cos(psi) = dx/ds...................................................................................(3a)
b) ds /dy = wurzel[1+ (dx/dy)^2] = wurzel{1+1/tan(psi)^2}]
=1/tan(psi) * wurzel[1 + {tan(psi)}^2} = 1 / tan(psi) * 1/cos(psi) =
=1 /sin(psi)
also
sin(psi) = dy/ds……………………………………………………....(3b)
D)
a) aus x^2 + y^2 = r^2 folgt für die Differentiale :
x dx +y dy = r dr............................................................................... (4a)
b) aus y / x = arctan (phi) folgt für die Differentiale :
[x dy – y dx ] / x^2 = 1 /{cos (phi)}^ 2* d(phi) ,
daraus
x dy – y dx = x^2 /{cos (phi)}^ 2 * d(phi) = r^2 *d(phi)………….(4b)
E) Auf die Formel omega = psi - phi wenden wir
Subtraktionstheoreme an:
a) cos(omega) = cos(psi)cos(phi) + sin(psi)sin(phi)
unter Verwendung von (3) und (1) kommt:
cos(omega) = dx/ds * x/r + dy/ds * y/r
= [x dx + y dy] / (r ds )…………………………………………..(5a)
b) sin(omega) = sin(psi)cos(phi) - cos(psi)sin(phi)
unter Verwendung von (3) und (1) kommt:
sin(omega) = dy/ds * x/r - dx/ds * y/r
= [x dy - y dx] / (r ds )……………………………………………(5a)
F) Auswertung der Ergebnisse in E) mittels der Formeln (4)
cos (omega) = (rdr) / (rds) = dr / ds ………………………………(6a)
sin (omega) = (r^2d(phi))/(r ds) = r * d(phi) / ds ..........................(6b)
daraus:
tan(omega) = r* d(phi) / dr..............................................................(6c)
G)
Berechnung des (senkrechten) Abstandes p des Pols O von
der Tangente t in P;
Es gilt:
p = r * sin (omega),oder
1 / p^2 = 1 / r^2 * 1 / {sin (omega) }^2
nach einer goniometrischen Formel kommt:
1 / p^2 =1 / r ^ 2 * [1+ {cot (omega)}^2], wegen
{cot (omega)}^2 =1 / {tan(omega)}^2 und (6c)
kommt schliesslich die Schlussformel
1 / p^2 = 1 / r^2 + 1 / r^4* [dr / d(phi)] ^ 2………………….(F)
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Jetzt sind die Vorbereitungen beendet
Das Gelernte verwenden wir Herzschlag für Herzschlag
für die Kardioide
wir setzen ein:
r = a + a cos (phi)
dr / d(phi) = .- a sin(phi)
Damit kommt:
1/p^2 = 1/{a^2 (1+cos(phi)^2)}* [1 + sin^2(phi)) / {1+(cos^2(phi)}]
Fasst man dies zusammen so kommt nach kurzerRechnung
1/ p^2 = 2 / [a^2*(1+ cos(phi))^3], ersetztman darin
1+ cos(phi) durch r/a, so entsteht das
Schlussresultat, das durch seine Einfachheit: besticht,nämlich:
r^3 = 2 a p^2
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Im englischen Sprachgebrauch nennt man die in (r,p)
angeschriebene Gleichung ,in der der Polarwinkel phi
eliminiert ist und daher nicht mehr vorkommt,
pedal equation of the curve
MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 11:37: |
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Hi Achim,
in einem Nachtrag zeige ich Dir eine besonders elegante Methode,
die (p,r)-Gleichung der Kardioide r = a(1 + cos(phi)) herzuleiten .
Die Bezeichnungen sind dieselben wie vormals.
Wir logarithmieren die gegebene Gleichung:
ln r = ln a + ln( 1 + cos(phi)), ableiten nach phi ergibt:
1 / r * dr /d(phi) = - sin(phi) / (1 + cos(phi))............................(I)
Nach der in meiner ersten Arbeit hergeleiteten Formel (6c),
nämlich tan(omega) = r * d (phi) / dr und
einer Prise Goniometrie , wird aus (I) :
cot (omega) = - tan ( ½ phi); dem entnimmt man
omega = ½ (phi + Pi).
Nun kann der Abstand p des Pols O von der Tangente t
leicht berechnet werden:
p = r sin (omega) = r cos( ½ phi )
Mit der Kardioidengleichung
r = a(1 + cos(phi)) lässt sich phi leicht eliminieren
Resultat wiederum:
r^3 = 2 a p^2
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Empfehlung
Man bestimme übungshalber die (p,r)- Gleichung für die
archimedische Spirale r = a * phi, a>0
Anleitung: ermittle auch hier aus ln r = ln a + ln(phi)
zunächst cot (omega) = 1 / r * dr /d(phi) = 1 / phi = a / r …...
Resultat:
p^2 = r ^ 4 / ( a^2 + r^2 )
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cordialement
H.R.Moser,megamath
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