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Beitrag |
    
Jean-Luc
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 22:11: | 
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Hi,
kann mir irgendjemand erklären, was eine Basiswechselmatrix für einen Sinn hat und vor allem, wie ich sie aufstelle?
Wir hatten dazu mal den Vektorraum der Polynome betrachtet und eine lineare Funktion t, die jedem Polynom p (vom Grad <=3) folgendes zuordnet:
t(p):=(p(0); (p(1); (p(0)+p(1)))
p(0) ist der Ausdruck vor der 1;
p(1) der vor dem x
p(2) der vor dem x²
p(3) der vor dem x³
nur weiß ich absolut nicht, wie man diese Matrix aufstellt.
Nun sollten wir die Basiswechselmatrix bezgl. t und den Basen
B=(1,x,x²,x³} und A=((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} aufstellen.
Kann mir das jemand illustrieren oder an einem anderen Beispiel erklären?
Ich blick da nicht mehr durch...
Gruß
Jean-Luc |
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 07:10: |
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Wäre cool wenn jmd helfen könnte interesiert
mich auch sehr!!!!
maxi |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 13:49: |
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Hi ihr beiden,
ich denke, da stimmt was in der Aufgabenstellung nicht. Eine Basiswechselmatrix bezieht sich nicht auf eine Abbildung, sondern auf eine Basis. Wenn man eine vorgegebene Basis eines VR hat und einen Vektor aus diesem VR, dann kann man ihn in eindeutiger Weise als Linearkombination der Basisvektoren schreiben. Wenn man nun eine andere Basis hat dann ändern sich natürlich die Koeffizienten in dieser Linearkombination. Mit einer Basiswechselmatrix kann man die neuen Koeffizienten aus den alten berechnen (manchmal ist es aber auch umgekehrt; also die alten aus den neuen berechnen. Kommt drauf an, wie der Prof. es definiert hat).
In der Aufgabenstellung sprichst Du aber von einer Matrix bzgl. der Abbildung und das ist dann eine Darstellungsmatrix (kann bei Euch auch anders heißen).
Die Darstellungsmatrix der Abbildung t bzgl. der Basen B und A berechnet sich wie folgt: Du musst die Bilder der Basisvektoren unter t als Linearkombination der Basisvektoren der Basis A schreiben. Die Koeffizienten bilden dann die Spalten der Matrix. Also:
t(1)=(1,0,1)=1*(1,0,0)-1*(1,1,0)+1*(1,1,1)
t(x)=(0,1,1)=-1*(1,0,0)+0*(1,1,0)+1*(1,1,1)
t(x^2)=(0,0,0)=...
t(x^3)=(0,0,0)=...
Darstellungsmatrix:
1 -1 0 0
-1 0 0 0
1 1 0 0
Diese Matrix beschreibt die Abbildung t bzgl. der Basen B und A.
Schreibt man nun das Polynom p=1+2x+x^2+x^3 als Linearkombination der Basis B ergeben sich als Koeffizienten 1,2,1,1. Der Koordinatenvektor ist also (1,2,1,1). Multipliziert man den Vektor mit der Matrix ergibt sich (-1,-1,3). Nimmt man dies als Koordinatenvektor bzgl. der Basis A erhält man (1,2,3) und das ist gerade das Bild des Polynoms p unter der Abbildung t.
Basiswechselmatrizen haben z.B. eine große Bedeutung bei der Suche nach Normalformen von Matrizen. Zwei quadratische Matrizen heißen z.B. ähnlich, wenn sie bzgl. unterschiedlicher Basen denselben Endomorphismus beschreiben. A ähnlich B genau dann wenn, ein invertierbares S existiert, so dass: S^(-1)*B*S = A.
Dieses S ist eine Basiswechselmatrix.
Ich hoffe, das hilft erst mal weiter. Kontrolliere aber bitte noch mal deine Aufgabenstellung.
Gruß clara |
Jean-Luc
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 14:35: |
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Hi Clara,
in der Aufgabenstellung steht nur das Symbol für die gesuchte Matrix. Dies wurde in der Vorlesung aber immer Basisübergangsmatrix oder Basiswechselmaztrix bezüglich einer Funktion genannt.
Das entspricht aber deiner Lösung. Ich habe hier ja die Musterlösung vor mir liegen, nur ist sie mir nicht ganz klar.
Wie kommst du auf
t(1)=(1,0,1)
t(x)=(0,1,1)
t(x²)=(0,0,0)
t(x³)=(0,0,0)
Es ist ja
p(x)=p(0)*1+p(1)*x+p(2)*x²+p(3)*x³
Hieße das, t(1) bedeutet
p(x)=1=1+0x+0x²+0x³
Und dann ist t(p(x))=(1,0,1+0)
t(x) bedeutet dann
p(x)=0*1+x+0x²+0x³
Dann ist t(p(x))=(0,1,0+1)
Und dann bei t(x²) bedeutet das
p(x)=0*1+0*x+x²+0*x³
Also
t(p(x))=(0,0,0)
Und dann bei t(x³) bedeutet das
p(x)=0*1+0*x+0*x²+x³
Also
t(p(x))=(0,0,0)
?
Zumindest passt das ja mal mit deinen Vektoren zusammen.
Falls ja, so geht mir langsam aber sicher ein Licht auf!
Dann wäre (1,0,0) die Koordinatendarstellung für das Polynom p(x)=1.
(1,1,0) für das Polynom p(x)=1+x
Und (1,1,1) die Koordinatendarstellung für das Polynom
p(x)=1+x+x²
Ist das richtig?
Gruß
Jean-Luc |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 16:21: |
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Hi Jean-Luc,
deine letzten Ausführungen sind nicht ganz richtig. Du bist im Vektorraum der Polynome vom Grad <=3. Die Basis hat dann also 4 Elemente. Der Koordinatenvektor (was du Koordinatendarstellung nennst) des Polynoms p=1 bzgl. der Basis (1,x,x^2,x^3) ist dann (1,0,0,0). Wenn man nun eine andere Basis wählt, bekommt man natürlich auch einen anderen Koordinatenvektor.
Ich weiß nicht wie ihr es bei euch an der Uni mit der Schreibweise haltet, aber ich finde es besser (und denke auch, dass es formal ganz korrekt ist), wenn du nicht t(p(x)) schreibst, sondern t(p). p(x) bedeutet im Allgemeinen eine Polynomfunktion und p ein Polynom.
Ich finde es ausgesprochen merkwürdig, die Matrix Basiswechselmatrix zu nennen. Basisdarstellungsmatrix kann ich mir ja noch vorstellen. Bist Du Dir da wirklich sicher?
gruß clara |
Jean-Luc
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 16:46: |
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Hi Clara,
bei uns wurde das so bezeichnet. Aber so verwirrt, wie unser Professor manchmal ist, kann er natürlich auch etwas ganz anderes gemeint haben (und noch dazu ist lineare Algebra auch nicht ´sein Gebiet´, eigentlich ist er Numeriker). In meinem Skript hat die Matrix überhaupt keine Bezeichnung. Da wird von einer k-linearen Abbildung aus Hom(V,W) gesprochen und dann über eine Matrix M(B,A)(f) (B steht unten an M, A oben an M; A ist Basis von V, B Basis von W).
Ein Namenfür diese Matrix wurde dort nicht gegeben. In der Vorlesung wurde immer von Basisübergangsmatrix und Basiswechselmatrix gesprochen bezüglich f. Einen Basiswechsel haben wir immer betrachtet bei der Identitätsabbildung.
Den Vektor (1,1,0) meinte ich bezüglich der neuen Basis A=((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} in den Bildraum von t. Dort habe ich doch nur 3 linear unabhängige Vektoren. Wieso muß ich dann 4 Komponenten haben?
t(p(x)) habe ich übrigens auch nicht in der ´Musterlösung´ stehen, sondern t(p). Allerdings ist das ganze formal noch etwas komplizierter formuliert. Ich habe es etwas vereinfacht! War mir auch nicht bekannt, dass man ´durch das Weglassen´ des x aus einer Polynomfunktion ein Polynom macht!
Gruß
Jean-Luc |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 18:01: |
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Hi,
vielleicht schreiben wir etwas aneinander vorbei. Ich meinte diesen Teil von Dir:
"Dann wäre (1,0,0) die Koordinatendarstellung für das Polynom p(x)=1.
(1,1,0) für das Polynom p(x)=1+x
Und (1,1,1) die Koordinatendarstellung für das Polynom
p(x)=1+x+x²"
Dies ist nicht richtig.
Die Schreibweise mit M(B,A)(f) ist mir bekannt. Wir nennen das Darstellungsmatrix und falls f die Identität ist Basiswechselmatrix.
Falls Du das obige immer noch nicht ganz verstehst, sag bescheid. Dann muß ich aber wohl etwas weiter ausholen, weil man in diesem Fall einen Isomorphismus zwischen dem Vektorraum der Polynome vom Grad <=3 und dem K^4 betrachtet, wenn man von Koordinatenvektoren spricht.
Die Matrix oben ist ja auch eine lineare Abbildung vom K^4 in den K^3, obwohl t eine Abbildung vom Vektorraum der Polynome vom Grad <=3 in den K^3 ist.
gruß clara
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Jean-Luc
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 19:01: |
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Hi Clara,
zugegeben, ich bin jetzt etwas verwirrt. Also klar ist mir, dass p als Basen die Polynome 1,x,x²,x³ hat. Jetzt bildet man diese doch (wie du sagst) durch einen Isomorphismus auf den K^4 ab. Und jetzt kann man die Funktion t doch als Matrix M auffassen, wobei M*x (x aus K^4) praktisch die Funktion t bezüglich der Koordinaten beschreibt.
Stimmt das bis hier hin?
Aber die Abbildung t bildet doch nur in den K^3 ab. Ich verstehe das so, dass mit den Basisvektoren von A={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} dann durch die Umkehrfunktion der Koordinatenfunktion folgendes gemeint ist:
(1,0,0)^=1*1+0*x+0*x²
(1,1,0)^=1*1+1*x+0*x²
(1,1,1)^=1*1+1*x+1*x²
Hm, oder darf ich das nicht, weil die Abbildung ja als Bildraum den K^3 hat und nicht auf Polynome abbildet, sondern direkt auf Koordinaten?
Ist das vielleicht mein Fehler?
PS: Danke, daß du dir so viel Zeit nimmst!
Gruß
Jean-Luc |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 15:19: |
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Hi Jean-Luc,
ich dacht p sei ein Polynom. Dann hat p doch keine Basis.
Der Rest von oben ist richtig und deinen Fehler hast du auch richtig erkannt.
gruß clara |
Jean-Luc
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 17:39: |
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Hi Clara,
ich meinte, dass p sich bezüglich der Basis 1,x,x²,x³ darstellen läßt. Ich drücke mich anscheinend immer falsch aus :-(
Ich wollte damit sagen, dass der Vektorraum der Polynome (mit Grad <=3) 1,x,x²,x³ als Basisvektoren hat und p eine Linearkombination dieser Vektoren ist.
Logisch, ein Vektor hat keine Basis, sondern läßt sich als Linearkombination einer Basis schreiben. Ich werde wohl noch etwas an meinen Formulierungen feilen müssen.
Kannst du mir vielleicht noch ein gutes Buch für lineare Algebra (1 und 2) empfehlen?
Ich habe zwar ein Buch (Bosch: Lineare Algebra), aber dort sind immer Übungsaufgaben ohne Lösungen drin, was ich etwas schade finde.
Woher weiß ich dann, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe?
Und Danke nochmal für deine Hilfe.
Gruß
Jean-Luc |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 18:17: |
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Hallo Jean-Luc,
ich selbst habe von Fischer und Lorenz Bücher zur Linearen Algebra und einige Skripte von meiner Uni und aus dem Netz. Zur Einführung würde ich allerdings davon nichts empfehlen. Zum Fischer gibt es allerdings noch ein Lösungsbuch.
Empfehlen kann ich das Lineare Algebra Buch von Beutelspacher, weil zu Beginn jedes Kapitels die Lerninhalte festgehalten werden und anschließend ein kleiner Test folgt (mit Lösungen am Ende). Ich muss aber gestehen, dass ich es selbst nie durchgearbeitet habe, aber ich habe es schon öfter empfohlen und bisher hat mir noch keiner gesagt, dass er es nicht gut findet. Es umfaßt allerdings nur die Lineare Algebra I. Aber so genau kann man LAI und LAII ja auch nicht trennen.
gruß clara |
Jean-Luc
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 19:05: |
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Hi Clara,
den Fischer kenne ich. Nur Englisch, na ja, ist nicht gerade mein Fach. Mir ist aber bewußt, daß ich nicht an englischsprachiger Literatur vorbeikomme im Laufe meines Studiums.
Da werde wohl meine Kenntnisse mal auffrischen müssen !
Danke !
Gruß
Jean-Luc
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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 15:58: |
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Hallo Jean-Luc,
der Fischer den ich habe ist aber nicht auf Englisch, sondern deutsch.
gruß clara |
Jean-Luc
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 21:15: |
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Hi Clara,
oh, dann muß ich mal Ausschau danach halten.
Gruß
Jean-Luc |
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