    
Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 18:34: | 
|
Hallo Leute,
Ich habe da ein Verständnisproblem bei der Variationsrechnung und wäre dankbar, wenn mir jemand eine nachvollziehbare Erklärung geben könnte.
Es geht dabei um die Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen, allerdings für die vereinfachte Funktion F(y,y',x).
Es gilt also:
I = òxi xf F(y,y',x)dx
Gesucht ist die Funktion y(x), für die das Integral I extremal wird. Nun folgt der Ansatz (der mir zwar noch verständlich ist, aber sicher nicht selbst in den Sinn gekommen wäre):
y~(x;e)=y(x) + eh(x)
(Wieso wohl wird anstatt des Beistriches ein Strichpunkt gesetzt? Ist mir ebenfalls nicht ganz klar...)
Dabei stellt e eine beliebige reelle Zahl und h(x) eine beliebige,stetig differenzierbare Funktion dar, die nur folgende Bedingungen erfüllen muss, weil Anfangs- und Endpunkt der Kurve schon festgelegt sind und daher nicht variieren dürfen.
h(xi)=h(xf)=0
Jetzt gilt für die Variation von y:
dy(x)=y~(x;e)-y(x)=eh(x)
Und dementsprechend gilt für die Variation des Integrals I:
dI=òxi xf F(y~,y~',x)dx - òxi xf F(y,y',x)dx
Nun folgt das Zitat, das ich nicht wirklich verstehe:
"Für jede Wahl von h(x) wird I eine Funktion der Variablen e. Damit die Funktion y(x) das Integral I extremal macht, muss dI bei einer kleinen Änderung von y(x) in niedrigster, d.h. linearer, Ordnung bezüglich e verschwinden."
Abschließend folgt die Formel, die für die weitere Rechnung von großer Bedeutung ist:
dI = [dIh(e) / de]e=0 e + O(e2)
Mir ist nicht klar, was die Einführung der O(...)-Funktion bedeuten sollte. Ich habe diese Formel folgendermaßen interpretiert (was ja auch in gewisser Weise zuzutreffen scheint):
0 = dI = [ dIh(e) / de ]e=0
Alles nachfolgende habe ich wieder verstanden. Beim Zitat ist mir aber nur der erste Satz klar - wäre echt nett, wenn jemand versuchen könnte, mir den zweiten näher zu erläutern...
Schöne Grüße,
Nuefz
|
