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Helga
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 13:30: | 
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Ich habe hier folgende Funktion überprüfen auf Maxima und Minima
z=3x-3y-2x^3-xy^2+2x^2y+y^3
Dazu habe ich zuerst folgnde Ableitungen gebildet.
z(x)
z(y)
z(xx)
z(yy)
z(xy)=z(yx)
Danach habe ich versucht die 1. Ableitungen 0 zu setzen.
Da bekomme ich aber 2x-Werte und 4y-Werte heraus.
Ich hoffe hier kann mir jemand weiterhelfen, welche x und y-Werte ich für die Hesse-Matrix ich da bekomme.
Vielen Dank
Helga |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 18:03: |
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 18:05: |
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Hallo Helga,
z=3x-3y-2x³-xy²+2x²y+y³
Wir bilden die parziellen Ableitungen:
zx=3-6x²-y²+4xy
zy=-3-2xy+2x²+3y²
zxx=-12x+4y
zxy=zyx=-2y+4x
zyy=-2x+6y
===============================
Wir bilden das Gleichungssystem:
zx=0
zy=0
also:
3-6x²-y²+4xy=0
-3-2xy+2x²+3y²=0
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Dies ergibt die folgenden 4 Lösungen und damit 4 kritische Punkte:
P1=(1,1)
P2=(-1,-1)
P3=(1/6*sqrt(6),-1/3*sqrt(6))
P4=(-1/6*sqrt(6),1/3*sqrt(6))
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Um diese 4 Punkte jetzt bewerten zu können, bilden wir die Hesse-Matrix H:
zxx, zxy
zyx, zyy
also:
-12x+4y, -2y+4x
-2y+4x, -2x+6y
davon die Determinante:
d=det(H)= 8x²-64xy+20y²
======================
Wir berechnen nun für jeden kritischen Punkt: zxx und d
dann gilt:
1) falls d>0 und zxx>0 --> relatives Minimum
2) falls d>0 und zxx<0 --> relatives Maximum
3) falls d<0 --> Sattelpunkt
4) falls d=0 --> keine Aussage möglich (jedenfalls nicht mit dieser Methode)
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Wir erhalten für
P1: d=-36 also: Sattelpunkt
P2: d=-36 also: Sattelpunkt
P3: d=36 und zxx=-10/3*sqrt(6) also: Maximum
P4: d=36 ung zxx =10/3*sqrt(6) also: Minimum
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 18:47: |
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Deutsche Rechtschreibung - schwere Rechtschreibung!
(um nicht zu sagen idiotische Rechtschreibung)
Deshalb hätte ich vorher im Duden nachsehen sollen:
man schreibt: partiell
(aber: differenziell!)
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Helga
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 22:15: |
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Hi Fern!
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Die ganze Rechnung ist mir nun klar geworden, danke.
Aber wie hast du das Gleichungssystem gelöst um auf die 4 Punkte zu kommen.
Damit habe ich noch Schwierigkeiten.
Hoffe du kannst mir da nochmals helfen.
Vielen Dank
Helga |
Gabi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 03:07: |
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OffTopic:
partiell kommt schließlich nicht von "parz" wie Parzelle, sondern von "part"
es gibt zwar das Wort Differenz, aber es gibt auch das Wort: "different"
differenziell auch: differentiell
ist jedenfalls nicht verboten, vgl. z.B.
http://www.ids-mannheim.de/grammis/reform/wort-d.html |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 07:51: |
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Hallo Gabi,
vielen Dank für die Aufklärung!
Die Erklärung empfinde ich zwar etwas bei den Haaren herbeigezogen aber wahrscheinlich wird ähnlich argumentiert, warum man nicht "Ältern" oder "Mitttag" schreibt.
Ich bin nach wie vor der Meinung, dass die Kultusminister besser getan hätten, ihr Augenmerk auf nützlichere Reformen zu lenken, als eine solch stupide Rechtschreibneuerung einzuführen (Stichwort: PISA).
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Hallo Helga,
x und y aus den beiden Gleichungen ist eine kniffelige Angelegenheit und ich habe diese Arbeit meinem Computer überlassen.
Wenn du es aber selbst "zu Fuß" ermitteln willst:
x aus der ersten Gleichung:
x = y/3 +- 1/6*sqrt(18-2y²)
und dies in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt:
-2+(22/9)y² +- (1/9)y*sqrt(18-2y²) = 0
und daraus y = +-1 und +- 1/3*sqrt(6)
und damit ist dann auch x bekannt.
(wieder mit meinem Computer ermittelt).
Vielleicht findet sich jemand, der einen einfacheren Weg kennt.
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