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Beitrag |
    
Babsi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 22:37: | 
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Ich habe hier eine Textaufgabe die ich lösen muss.
Ein Körper der Masse m kg fällt aus der Gleichgewichtslage herunter in einem Medium, das einem Widerstand (N) proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit besitzt. ie Endgeschwindigkeit beträgt 50m/sec. Bestimme
a) die Geschwindigkeit nach 2sec und
b) die Zeitspanne, nach der ein geschwindigkeit von 30m/sec. erreicht wird!
Ansatz m(dv/dt) = mg-Kv^2
Hoffe da kann mir jemand weiterhelfen, wie ich dies lösen kann.
Babsi
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Orion (orion)
Neues Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 14:34: |
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Babsi :
Hier ist Starthilfe.
Wir haben eine Dgl. mit getrennten Variablen, nämlich
dv/(a^2-v^2) =(K/m) dt mit a:= sqrt(gm/K)
==>
(1/2a)*log {1/C)|(a+v )/(a-v) | = (K/m) t
(C ist eine Integrationskonstante)
==> | (a+v)/(a-v) | = C*exp[2a(K/m)t]
Löse dies nach v auf und lasse t->oo
gehen um die Endgeschwindigkeit zu erhalten. Damit lässt sich der Wert von C
bestimmen.
mfg
Orion
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Fransi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 13:32: |
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Hallo Orion,
Kommt man dann so auf den Wert der Konstante C:
(a+v) = |a-v|*C*exp[2a(K/m)t]
1.Fall: a > v
(a+v) = (a-v)*C*exp[2a(K/m)t]
v + v*C*exp[2a(K/m)t] = a*C*exp[2a(K/m)t] - a
v*(C*exp[2a(K/m)t] + 1) = a*(C*exp[2a(K/m)t] - 1)
v(t) = a*(C*exp[2a(K/m)t] - 1)/(C*exp[2a(K/m)t] + 1)
v(t) = a*(C - exp[-2a(K/m)t])/(C + exp[-2a(K/m)t])
lim(t->oo)v(t) = lim(t->oo)a*(C - exp[-2a(K/m)t])/(C + exp[-2a(K/m)t])
50 m/s = lim(t->oo)a*(C - exp[-2a(K/m)t])/(C+ exp[-2a(K/m)t])
50 m/s = lim(t->oo)a*(C - 0)/(C+ 0) = a*C/C = a
??
2.Fall: a < v
(a+v) = -(a-v)*C*exp[2a(K/m)t]
a + v = v*C*exp[2a(K/m)t] - a*C*exp[2a(K/m)t]
v(1 - C*exp[2a(K/m)t] ) = -a*(1+C*exp[2a(K/m)t] )
v(t) = -a*(1+C*exp[2a(K/m)t] )/(1 - C*exp[2a(K/m)t] )
v(t) = -a*(exp[-2a(K/m)t] + C)/(exp[-2a(K/m)t] - C)
lim(t->oo)v(t) = lim(t->oo)-a*(exp[-2a(K/m)t] + C)/(exp[-2a(K/m)t] - C)
50m/s = -a*(0+C)/(0-C) = -a*(-1) = a
??
kann es sein, dass man damit erst einmal nur einen Zahlenwert für K erhält?
also so:
50m/s = a = sqrt(gm/K)
(50m/s)² = mg/K
K = mg/(50m/s)²
m sollte bekannt sein, g ist bekannt, also ist damit auch K bekannt.
Lässt sich vielleicht dann die Konstante C ausrechnen, indem die Anfangsbedingung ausgenutzt wird, dass der Körper "aus der Gleichgewichtslage" fällt, also v(0)=0 ?
| (a+v)/(a-v) | = C*exp[2a(K/m)t]
| (a+0)/(a-0) | = C*exp(0)
1 = C
?
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Orion (orion)
Junior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 16:20: |
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Fransi :
Ja, du hast Recht , das mit der Gleichgewichtslage hatte ich glatt überlesen
und die Rechnung auch gar nicht zu Ende
geführt, sonst hätte ich sicher bemerkt, dass
C durch v(oo) nicht bestimmt werden kann.
Deine Lösung ist völlig korrekt.
mfg
Orion |
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