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Helga
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 22:31: | 
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Ich habe hier folgende Funktione, die ich auf maxima und minima überprüfen soll:
z=3x-3y-2x^3-xy^2+2x^2y+y^3
Dazu habe ich folgende Ableitungen gebildet.
z(x)= 3-6x^2+4xy-y^2
z(y)=-3-2x^2+3y^2-2xy
z(xx)=-12x+4y
z(yy)=6y-2x
sowie
z(xy)=z(yx)=4x-2y
Dann habe ich versucht die erste Ableitungen 0 zusetzen um die Extremwerte zu finden für die Hesse Matrix.
Da habe ich mal:
3-6x^2+4xy-y^2=0
x1=Wurzel(-2(y^2-9))+2y/6
x2=-(Wurzel(-2(y^2-9))+2y/6)
herausbekommen.
Wenn ich dies dann in der zweiten Gleichung von z(y) einsetze bekomme ich dort 4 y Werte heraus.
Kann mir jemand sagen wie ich dies richtig angehen muss.
Vielen Dank für jede Antwort
Helga |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 23:24: |
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Hallo Helga,
falls die Funktion so heißt
z=3x-3y-2x³-xy²+2x²y+y³
Dann ist (mit deinen Bezeichnungen)
z(x)=3-6x²-y²+4xy
z(y)=-3-2xy+2x²+3y²
z(xx)=-12x+4y
z(yy)=-2x+6y
(zusätzlich:
z(xy)=-2y+4x
z(yx)=-2y+4x
)
(du hast dich anscheinend verrechnet bei den part. Ableitung. Wenn du nach x ableitest, mußt du dir y praktisch als konstant vorstellen und dann ganz normal ableiten!)
Setze z(x)=0 und z(y)=0 für die kritischen Punkte. Ist eine ziemlich aufwendige Rechnung, wenn ich das richtig sehe (mit p,q-Formel).
Nun erstellst du die Matrix:
(z(xx) z(xy))
(z(yx) z(yy))
(Bemerkung: z(xy) heißt: leite z(y) nach x ab!)
Wenn diese positiv definit ist, hast du Minimum, falls neg. definit => Maximum!
Um festzustellen, ob die Matrix pos. definit oder neg. definit ist, berechnest du die Eigenwerte. Sind diese beiden >0, dann pos. definit, falls <0 => neg. definit.
(Anmerkung zu deiner Bemerkung (verschiedene y-Werte):
Wenn du bei einer Funktion x=1 oder x=3
und y=5 oder y=7 als die ´kritischen Variablen´ erhältst, so wären die kritischen Punkte:
(1,5);(1,7);(3,5);(3,7) !!!)
Mit freundlichen Grüßen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 23:40: |
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Hallo Helga,
entschuldige, aber durch deine Umsortierung und den ^-Zeichen hatte ich eben nicht so ganz den Überblick. Also, einen Fehler hast du hier (beim Unterstrich):
z(y)=-3-2xy+2x²+3y²
z(y)=-3-2x^2+3y^2-2xy
Für die x,y- Werte auszurechnen, würde ich auf Gleichung I) (die entsteht bei z(x)=0) p,q-Formel für x anwenden und auf Gleichung II) (diese entsteht bei z(y)=0).
Du erhältst dann so etwas von der Art
aus I)
x(1,2)=-...+-Wurzel....
und aus II)
x*(1,2)=-...+-Wurzel....
Setze x1=x*1 und rechne y aus.
Falls y=y1,2 (also 2 Werte), so hast du als kr. Punkte:
(x1,y1);(x*1,y1);(x1;y2);(x*1,y2)
Setze dann x1=x*2 und rechne weiter.
Setze x2=x*1...
Setze x2=x*2...
Natürlich kannst du dann auch einen Widerspruch erhalten (wenn z.B. x2>0 und x*1<=0) (beachte: x*1 ist hier eine Variablenbezeichnung!). Beachte dies!
Mit freundlichen Grüßen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 07:34: |
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Hallo Helga,
ich muss noch folgendes anmerken:
Dein Verfahren scheint guenstiger gewesen zu sein als das meinige. Also benutze vielleicht (um weniger zu rechnen) doch dein Verfahren (erst x(1,2) ausrechnen und dann in z(y) einsetzen). Verbessere aber ueberall deinen Rechenfehler in der Rechnung (in z(y)).
(siehe meinen letzten Beitrag!)
Wenn du dann alle moegliche Werte fuer y errechnest (sollten es wieder 4 sein), so pruefe, ob alle Paare (x1,y1);(x1,y2);(x1,y3);(x1,y4);(x2,y1);(x2,y2); (x2,y3);(x2,y4)
auch tatsaechlich deine beiden Gleichungen erfuellen (falls du z.B. zwischendurch quadriert hast, ist das notwendig!).
Die Paare, die beide Gleichungen erfuellen, sind die kritischen Punkte, das heisst, an denen verschwindet die Ableitung.
Wie du nun nachpruefst, wo Maximum und Minimum vorliegen, entnimmst du meinem letzten Beitrag (ab: ...Nun erstellst du die Matrix...; schau dort auch bitte nach, wie ich z(xy) und z(yx) errechnet habe)
Mit freundlichen Gruessen
M. |
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