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Beitrag |
    
Fred Sch.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 16:58: | 
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Hallo
Schon wieder sollte ich eine Aufgabe über die Krümmung
einer Kurve lösen.
a) Man berechne den Krümmungsradius bei der Kettenlinie
y = a cosh (x/a)
b) M sei das zum Kurvenpunkt P gehörende Krümmungszentrum
der Kettenlinie, und Q sei der Schnittpunkt der Kurvennormalen
in P mit der x-Achse.
Man beweise, dass P der Mittelpunkt der Strecke MQ ist.
Wer kann mir helfen ?
Vielen Dank im Voraus.
Fred Sch.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 18:55: |
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Hi Fred.,
Vorbereitung
Wir ermitteln die erste und zweite Ableitung y’ , y’’
von y nach x und die für die Berechnung der Krümmung
relevanten Terme.
a) Es ist:
p = y ’ = sinh(x/a), q = y ‘’ = 1 / a cosh (x/a) = y / a^2
w = wurzel (1+ p^2) =wurzel [1+ (sinh(x/a)^2] = cosh (x/a) = y /a
Damit ergibt sich für den Krümmungsradius rho:
rho = w^3 / q = (y^3 /a^3) / (y / a^2) = y^2 / a
°°°°°°°
b) X und Y seien die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes M.
Es gilt:
X = x – w^2* p / q
Y = y + w^2 / q
Eine kleine Rechnung gibt :
X = x – y sinh (x/a) = x – y /a * wurzel (y^2-a^2)
Y = 2 y.
Die letzten Gleichungen sind für den geneigten Leser
vielsagend !
Um den genannten Satz noch besser durchschauen zu können,
berechnen wir die so genannte Normale N; das ist justement
die Strecke PQ aus dem Aufgabentext.
Die Subnormale SN stimmt mit dem Produkt y’ * y = p * y überein
Daraus entsteht mit Pythagoras:
N^2 = SN ^2 + y^2 = y ^2 (p^2+1).
Für N kommt :
N = y * w = y * y/ a = y^2 / a ;
Dieses Resultat stimmt nun mit dem Krümmungsradius überein.
Der genannte Satz ist im Wesentlichen bewiesen
M.f.G.
H.R.Moser,megamath
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