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Fred Sch.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 11:24: | 
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Hallo,
Kann mir jemand helfen, die nachstehende Aufgabe zu lösen
Gegeben wird die durch die Parameterdarstellung gegeben Kurve
x = a (cos t )^3 , y = a (sin t)^3.
a) Man berechne den Krümmungsradius rho in Abhängigkeit von t.
b) M sei der zum Kurvenpunkt P gehörende Krümmungsmittelpunkt
und O der Nullpunkt des Koordinatensystems.
Man beweise, dass die Tangente in P die Strecke OM im Verhältnis
1 : 3 teilt.
Vielen Dank für jede Hilfe
M.f.G.
Fred Sch.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 19:50: |
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Hallo Fred,
Lösung der Teilaufgabe b)
Aus dem Lösungsgang zur Teilaufgabe a), der später
erscheinen wird, entnehmen wir
einzelne Ergebnisse:
die Ableitung von x nach t ist x° = - 3a (cos t)^2 * sin t
die Ableitung von y nach t ist y° = 3a (sin t)^2 * cos t
u sei der Term (x°)^2 + (y°)^2 ; es gilt
u = 9 a^2 (cos t) ^2 * (sin t)^2
v sei der Ausdruck x° y°° - y°° x°
es gilt :
v = - 9 a^2 (cos t) ^2 * (sin t)^2
rho ist der Krümmungsradius; es gilt nach a).
rho = - 3a cos t * sin t = - 3/2 a sin 2t
I.
Wir stellen die Gleichung der Tangente g im Punkt P,
der zum Parameterwert t gehört, auf.
Die Steigung m von g lautet :
m = y°/x° = - tan t.
Gleichung von g :
y - a (sin t) ^3 = - tan t { x – a (cos t )^3}, vereinfacht :
y = - tan t * x + a * sin t
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II
Berechnung der Koordinaten X ,Y des Krümmungsmittelpunktes M :
Formeln:
X = x(t) – y° * u / v,
Y = y(t) + x° * u / v
Setzt man die Werte ein und vereinfacht , so kommt nach geschickter
Rechnung :
xM = X = a cos t * [(cos t)^2 + 3 * (sin t)^2 ]
yM = Y = a sin t * [ (sin t)^2 + 3 * (cos t)^2 ]
III
Gleichung der Geraden h = OM : y = (yM/xM ) * x, also
y = A/B* tan t * x, wobei
A = (sin t)^2 + 3 * (cos t)^2
B = (cos t)^2 + 3 * (sin t)^2
IV
Ermittlung des Schnittpunktes T der Geraden g und h :
Gleichsetzung der y-Werte:
- tan t * x + a * sin t = A / B * tan t * x
Auflösung nach x :
x * tan t * [A/B +1] = a * sin t
x = a * cos t / [A/B + 1] = a * B * cos t / [ A + B ]
Miraculum ; es gilt : A + B = 4 (!), daher:
x = xT = ¼ * a cost * [(cos t)^2 + 3 * (sin t)^2]
Vergleicht man dies mit dem weiter oben berechneten Wert xM ,
so erhält man die Proportion
xT : xM = 1 : 4
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Was sich auf der x-Achse abspielt, ist ansteckend.
Durch Parallelprojektion auf die Gerade h bleibt das Teilverhältnis
invariant, womit die Behauptung OT : TM = 1 : 3
bewiesen ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 10:43: |
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Hi Fred,
Lösung der Teilaufgabe a)
Vorbereitung: Ableitungen x° von x(t) nach t und y° von y(t) nach t
die Ableitung von x nach t ist x° = - 3a (cos t)^2 * sin t
die Ableitung von y nach t ist y° = 3a (sin t)^2 * cos t .
ferner gilt für die zweiten Ableitungen nach t :
x°° = - 3 a [- 2 cos t (sin t ) ^ 2 + (cos t)^3 ] =
- 3 a cos t [- 2 (sin t) ^ 2 + (cos t)^2 ]=
- 3 a cos t [1 – 3 (sin t)^2 ] , ebenso :
y°° = 3 a [2 sin t (cos t ) ^ 2 - (sin t)^3 ] =
3 a sin t [ 2 (cos t) ^ 2 - (sint)^2 ]=
3 a sin t [ 3 (cos t)^2 – 1 ]
Daraus folgt die Krümmung kappa = k:
k = [x° y°° - x°° y°] / [x° ^2 + y° ^2 ]
Berechnung von x° ^2 + y° ^2:
x° ^2 + y° ^2 = 9 a^2 {(cos t )^4 (sin t)^2 + (sin t)^4(cos t)^2 } =
9 a^2 (sin t)^2 (cos t)^2 {(sin t)^2 + (cos t)^2}=
9 a^2 (sin t)^2 (cos t)^2, daraus entsteht :
[ x° ^2 + y° ^2 ] ^(3/2) = (3 a sin t cos t) ^3 = 27 a^3 (sin t)^3 (cos t)^3,
ferner :
x° y°° = - 9 a^2 (cos t ) ^ 2 ( sin t) ^2 {3 ( cos t ) ^ 2 – 1 ) und
x°° y° = - 9 a^2 (cos t ) ^ 2 ( sin t) ^2 {1 - 3 ( sin t ) ^ 2 }, daraus
x° y°° - x°° y° = - 9 a^2 (cos t) ^ 2 ( sin t) ^2 {3 (cos t) ^ 2 – 2 + 3 (sin t) ^ 2}=
Für die letzte geschweifte Klammer setzen wir 1 ein ; es kommt:
x° y°° - x°° y° = - 9 a^2 (cos t) ^ 2 * ( sin t) ^2 ; endlich :
Krümmung kappa
k = [- 9 a^2 (cos t ) ^ 2 ( sin t) ^2] / [27 a^3 (sin t)^3 (cos t)^3] =
-1 / [ 3 a sin t * cos t ]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Krümmungsradius rho :
rho = 1 / k = - 3a cos t * sin t = - 3/2 a sin 2 t
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voilà
M.f.G.
H.R.Moser,megamath
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Fred Sch.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 14:45: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Von deinen Antworten habe ich sehr viel profitiert.
Ich möchte dir dafür herzlich danken.-
Fred
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