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Beitrag |
    
Beat M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 17:16: | 
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Hallo,
Schon habe ich wieder Probleme mit einer Aufgabe
Kann mir jemand helfen ?
Die Aufgabe lautet
Die Fläche zweiter Ordnung
x ^ 2 + x y + 2 y ^ 2 + 3 z ^ 2 - 4 z = 0
wird durch die Ebene 2 x – y – z = 0 geschnitten.
Die Normalprojektion der Schnittkurve auf die (x,y)-Ebene
ist ein Mittelpunktskegelschnitt.
Man ermittle die Koordinaten des Mittelpunktes dieser
Projektion.
Vielen Dank im Voraus
Beat M.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 18:30: |
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Hi Beat,
Wir eliminieren die Variable z aus der Gleichung der Fläche
und der Ebene
Wir erhalten eine Gleichung in x, y , welche die Projektion
der Schnittkurve auf die (x,y)-Ebene darstellt.
Diese Gleichung lautet in vereinfachter Form:
13 x ^2 - 11 x y + 5 y^2 – 8 x + 4 y = 0.
Wie man leicht feststellt, liegt eine Ellipse in gedrehter Lage vor.
Um die Koordinaten des Mittelpunktes zu finden, leiten wir die
Gleichung implizit nach x ab
Resultat:
26 x –11 x y’ – 11 y + 10 y y’ – 8 + 4 y’ = 0
Auflösung nach y’ :
y’ = [26 x – 11 y – 8 ] / [26 x – 11 y – 8]
Die Koordinaten des Mittelpunktes ergeben sich als Lösungen des
Gleichungssystems
26 x – 11 y – 8 = 0
11 x – 10 y – 4 = 0
Lösungen
x = xM = 36 / 139
y = yM = - 16 / 139
MfG
H.R.Moser,megamath
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