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Beat M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 14:19: | 
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Hallo.
Kann mir jemand bei der Lösung der folgenden Aufgabe helfen ?
Die Aufgabe lautet:
Man weise nach, dass die Normalprojektion p jedes ebenen Schnittes
des Paraboloids z = a ( x^2 + y^2 ) , a > 0, auf die (x,y)-Enbene
ein Kreis ist.
Die Gleichung der Schnittebene sei Ax + By + Cz = D
Welche Relation muss zwischen den Konstanten A,B,C,D und a
bestehen, wenn der Radius des Kreises p null ist und p somit
einen Nullkreis darstellt ?
Vielen Dank zum voraus
Beat M.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 16:28: |
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Hi Beat M.
Wir erhalten die Gleichung der Projektion p der Schnittkurve
auf die (x,y)-Ebene, auf die so genannte Grundrissebene,
indem wir aus der Gleichung des Paraboloids und der Schnittebene
die Variable z eliminieren.
Ergebnis des Eliminationsprozesses:
C a x^2 + C a y^2 + A x + B y = D ,
dabei wird vorausgesetzt, dass C nicht null ist
(a ist a priori nicht null).
Dies ist bereits die Gleichung der gesuchten Projektion p.
Das quadratische Glied x y tritt naturgemäss in dieser Gleichung
nicht auf, und die Koeffizienten von x^2 und y^2 stimmen überein.
Somit liegt die Gleichung eines Kreises vor.
Wir nehmen die Gelegenheit war, den einschlägigen Satz etwas
allgemeiner zu formulieren; er lautet:
Die Normalprojektion jedes ebenen Schnitts eines
Rotationsparaboloids auf die Tangentialebene des Scheitels
ist ein Kreis.
Wir ermitteln nun noch mit der Methode der quadratischen Ergänzung
die Koordinaten des Mittelpunktes M und den Radius r des Kreises.
Umformung der Kreisgleichung:
x ^ 2 + y ^ 2 + {A / (C a )} x + {B / (C a) } y = D / (C a) ,
daraus
x ^ 2 + y ^ 2 + 2{A / (2C a )} x + 2{B / (2C a) } y = D / (C a)
oder
[x+A /(2Ca)]^2 + [y +B /(2Ca)]^2 = [4CDa +A^2+ B^2] / [4C^2 a^2]
Die Koordinaten des Mittelpunktes lassen sich leicht ablesen, ebenso r^2;
es gilt:
r^2 = [ 4CDa + A^2 + B^2 ] / [ 4C^2 a^2 ]
r ist null (Nullkreis),wenn die folgende Relation erfüllt ist:
4 C D a + A ^ 2 + B ^ 2 = 0
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Damit sind alle Fragen beantwortet.
Ich habe aber noch eine ganz andere Lösungsmethode in petto,
die ich später ins Board stellen werde.
Bis dann
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 17:29: |
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Hi Beat,
Hier eine zweite Art der Herleitung der Relation ,
welche die Konstanzen A,B,C, D und a erfüllen müssen,
damit der ebene Schnitt einen Nullkreis erzeugt.
Lösungsidee: Wir fordern, dass die gegebene Ebene ein
Tangentialebene des Paraboloids sei.
Wir bilden die Funktion dreier Variablen Phi =Phi (x,y,z):
Phi(x,y,z) = a x^2 + a y ^2 – z ;
Der Gradient von Phi gibt uns eine Normalenvektor einer
Tangentialebene des Paraboloids:
Die Komponenten von grad (Phi) erhalten wir als partielle
Ableitungen von Phi nach x, nach y, nach z .
Diese Komponenten lauten der Reihe nach:
2ax ; 2ay ; -1 .
Die Gleichung der Tangentialeben T mit P1(x1/y1/z1) als
Berührungspunkt lautet demnach:
2 a x1 x + 2 a y1 y – z = constans
Die Konstante rechts beträgt z1, wie man der Beziehung
a x1 ^ 2 + a y1 ^ 2 = z1 entnimmt, die dadurch entsteht,
dass man die Koordinaten des Punktes P1 in die
Paraboloidgleichung einsetzt.
Die Gleichung von T lautet somit definitiv :
2 a x1 x + 2 a y1 y – z = z1
Diese Gleichung stellt gleichzeitig die vorgelegte Ebene E
mit der Gleichung
A x + B Y + C Z = D dar, genau dann, wenn die Koeffizienten
von x , y , z und das konstante Glied rechts proportional sind.
Aus dieser Forderung entspringen die Gleichungen:
2 a x1 / A = 2 a y1 / B = - 1 / C = z1 / D
Wir lösen nach x1, y1 , z1 auf
x1 = - A /( 2 a C)
y1 = - B /( 2 a C)
z1 = - D / C
Diese Werte setzen wir in die Paraboloidgleichung ein
Es entsteht die gesuchte Relation:
- D / C = a A^2 / (4a^2 C^2) + a B^2 / (4a^2 C^2), also:
4 C D a + A ^ 2 + B ^ 2 = 0
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wie früher.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Beat M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 09:59: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Vielen Dank für Deine prompte Hilfe
Ich habe viel profitiert
Beat M.
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