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Beitrag |
    
henrik1
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 00:58: | 
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wer kann hier helfen,
ich soll mantelflaeche des rot. koerpers von folg. funktion berechnen:
y=3-wurzel(4-x^2)
die gleichung, zur loesung hab ich, der schritt y`^2 ist unklar, und das loesen des integrals (grenze -1 ----- 1)will nicht funktionieren.
gibt es jemand, des um die uhrzeit das kann
gruss h.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 11:55: |
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Hi henrik1,
Rotiert ein Kurvenstück y = f(x) , x1 <= x <= x2, um die x-Achse,
so ergibt sich für das Oberflächenelement dA der Term
dA = 2 Pi y ds , wobei für das Bogenelement ds
ds = wurzel(1 + y’^2) * dx zu setzen ist.
Wir berechnen zuerst die Ableitung y’ der gegebenen Funktion
und bekommen
y ’ = x / wurzel ( 4 - x^2 ), daraus
1 + y’ ^2 = 4 / ( 4 –x^2 ); als Integrand erhalten wir
ds = 2 / wurzel(4 - x^2) * dx; um den Integranden zu erhalten,
multiplizieren wir ds mit 2 Pi y ; es kommt:
dA = 4 Pi * [ 3 / wurzel( 4 – x ^ 2 ) – 1 ]
Den ersten Term in dereckigen Klmmer schreiben wir
zweckmässigerweise so:
3/2 * 1 / wurzel(1 – (x/2)^2)
Eine Stammfunktion lautet:
F(x) = 4 Pi * { 3 * arc sin (x/2) – x }
es liegt ein gerade Funktion vor.
Daher integrieren wir von 0 bis 1 (statt von –1 bis 1) und
setzen zum Ausgleich zusätzlich den Faktor 2 vor das Integral
Schlussresultat:
Gesamtoberfläche A für x = –1 bis x = 1, Irrtum vorbehalten:
A = 8 Pi * { 3 * (Pi/6) – 1 } = 4 Pi ( Pi – 2) .
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MfG
H.R.Moser,megamath
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