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onkel.chrissie (onkelchrissie)
Neues Mitglied
Benutzername: onkelchrissie
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 17:20: | 
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hi leute,
ich hab ja probiert dieses verfahren aus dem bereits bestehenden beitrag zu verstehen, hab´s aber noch net geschafft und verzweifel bald.
ich soll dieses verfahren auf die unten angegebene menge von vktoren aus R^n anwenden und steig da nicht durch. vielleicht kann mir jemand helfen, damit ich wenigstens weiß was ich da eigentlich machen soll.
{v_1=(1,2,3),v_2=(1,1,1),v_3=(1,0,1)} |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 18:26: |
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 18:28: |
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Hallo Onkel Chrissie,
ich möchte mal versuchen es einfach zu erklären:
Die 3 Vektoren v1,v2,v3 spannen R³ auf.
Sie bilden also eine Basis für R³.
Aber: diese Basisvektoren stehen nicht senkrecht aufeinander, was du durch Bilden der Skalarprodukte überprüfen kannst.
Das Gram-Schmidt-Verfahren ermöglicht es nun, aus dieser Basis eine orthogonale Basis oder eine orthonormale Basis zu finden.
Wir nennen die gesuchten (orthogonalen) Basisvektoren: u1,u2,u3.
Wir setzen u1=v1 (wir können ja die u-Basis so drehen, dass u1 mit v1 zusammenfällt).
dann ist u2 gleich: v2 minus der Projektion von v2 auf u1:
u2= v2 - (v2.u1)/(u1.u1)*u1 (die Formel für die Projektion kennst du sicher)
und
u3 ist gleich: v3 minus Proj. von v3 auf u1 minus Proj. von v3 auf u2
u3= v3 - (v3.u1)/(u1.u1)*u1 - (v3.u2)/(u2.u2)*u2
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Für unser Beispiel ergibt sich:
u1 = (1,2,3)
u2 = (4/7, 1/7, -2/7)
u3 = (1/3, -2/3, 1/3)
was man natürlich vereinfachen kann zu:
u1=(1,2,3)
u2=(4,1,-2)
u3=(1,-2,1)
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Diese 3 Vektoren stehen aufeinander senkrecht und spannen ebenfalls R³ auf, bilden also eine orthonormale Basis für den Vektorraum R³.
Man könnte sie noch normalisieren, um eine orthonormale Basis zu finden.
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 18:30: |
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Nachtrag:
u1,u2,u3 bilden natürlich eine orthogonale Basis. |
onkel.chrissie (onkelchrissie)
Neues Mitglied
Benutzername: onkelchrissie
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 19:54: |
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vielen dank fern,
aber ich kleiner doofi muss leider eingestehen, dass ich entweder die formel für die projektion nicht kenn oder grad auf´m schlauch steh. kannst du mir das vielleicht nochmal ein bißchen erklären, wäre echt lieb von dir. |
onkel.chrissie (onkelchrissie)
Neues Mitglied
Benutzername: onkelchrissie
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 19:57: |
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ach ja, wenn du da dann schon dabei bist, wie normalisier ich die orthogonale basis dann? |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 22:19: |
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Hallo Onkel,
bevor man sich mit Gram-Schmidt abgibt, sollte man über Projektion und Normalisierung gut Bescheid wissen.
Als Projektion eines Vektors a auf einen Vektor b (oder besser gesagt: auf span(b) ) bezeichnet man den Vektor:
a.b/(b.b)*b wobei a.b und b.b das Skalarprodukt bezeichnet.
Ein Vektor wird normalisiert indem man ihn durch seinen Betrag dividiert.
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onkel.chrissie (onkelchrissie)
Junior Mitglied
Benutzername: onkelchrissie
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 05:32: |
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vielen dank,
man sollte wohl wrklich gut über Projektion und Normalisierung bescheid wissen, aber sag das mal meinem Prof.
nun ja, dank dir wird ja nun doch noch alles gut und ich werde die Punkte, die ich auf die Übungsaufgabe bekomm wohl ewig dir widmen |
onkel.chrissie (onkelchrissie)
Junior Mitglied
Benutzername: onkelchrissie
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 17:03: |
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also irgendwie nimmt das ganze ja gar kein ende mehr, aber ich muss doch nochmal ne frage loswerden:
also gegeben habe ich U enthalten im R^3 mit U={(x,y,z)|x-y+z=0). nun soll ich eine orthonormalbasis von U finden.
da muss ich doch jetzt wieder das gram-schmidtsche-orthonormalisierungsverfahren anwenden, oder irre ich mich da? |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 18:40: |
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 18:42: |
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Hallo onkel.chrissie,
Nun kannst du noch normalisieren, dann ist die Basis auch noch orthonormal.
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onkel.chrissie (onkelchrissie)
Junior Mitglied
Benutzername: onkelchrissie
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 19:27: |
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was würde ich nur ohne dich machen, ehrlich, stell dir vor, wie ich vor dir kniee und dich anbete.
mal im ernst, du bist echt ein engel, viiiieeeelen dank, dass du dich letzten beide tage um mich bzw um meine etwas unterdimensionierten mathekenntnisse gekümmert hast. |
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