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Beitrag |
    
Jade
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 22:15: | 
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Ich versteh' nur Bahnhof...
Kann jemand helfen?
Man konstruiere eine Metrik auf R, so dass (R,d) nicht vollständig ist, eine Folge in (R,d) aber genau dann konvergent ist, wenn sie es im
üblichen Sinne ist. (R := reelle Zahlen) |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. November, 2000 - 14:05: |
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Eine witzige Aufgabe, aber so müsste es gehen:
Definiere eine Metrik auf R wie folgt.
Es sei f(x) eine bijektive, stetige Abbildung von R auf den Kreis {(x,y) | x² + y² = 1} \ {(-1,0)}
(Stell dir R als unendlich langes Gummiband vor. Spanne dies auf den Kreisrand.)
Eine Abbildung, die dies leistet, müsste z. B.
f(x) = (cos(2 arctan(x)) , sin(2 arctan(x)))
sein.
Definiere jetzt Metrik d auf R durch
d(x,y) = |f(x) - f(y)|,
wobei |...| den normalen euklidischen Abstand in R² darstellt.
Überlege dir, dass d tatsächlich eine Metrik ist, und dass bzgl. dieser Metrik dieselben Folgen gegen dieselben Grenzwerte konvergieren, wie mit der üblichen euklidischen Metrik auf R.
Die Folge (xn) mit xn = n ist bzgl. der Metrik d eine Cauchyfolge, die nicht konvergent ist. Also ist (R,d) nicht vollständig.
Ich hoffe, das war jetzt nicht noch'n Bahnhof für dich ;-) |
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