| Autor |
Beitrag |
    
Beat M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 09:05: | 
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Hallo,
Wer kann mir helfen, die folgende Aufgabe zu lösen ?
Die Flächenformel A =1/2 int (r^2 d(phi)) für die in
Polarkoordinaten gegebene Kurve r = r (phi) soll rechnerisch
in die zugehörige Parameterform transformiert werde,
wenn dieselbe Kurve die Parameterdarstellung
x = x(t) ,y = y(t) besitzt.
Besten Dank im Voraus.
Beat M.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 10:06: |
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Hi Beat
Wir benützen die Umrechnung von rechtwinkligen
Koordinaten x = x(t),y =y(t) in Polarkoordinaten, also:
r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, phi = arctan (y / x),
Für das Differential d(phi), das in der Sektorformel für
die Fläche A auftritt, erhalten wir mit der Kettenregel und
mit Hilfe der Quotientenregel:
d(phi) ={ 1 / [1+(y/x)^2] }* [ x y° - x° y ] / x^2 * dt
= {x^2 / (x^2 + y^2)}* [ x y° - x° y ] / x^2 * dt =
= {x^2 / r^2 }* [ x y° - x° y ] / x^2 * dt
Dabei bedeutet x° die Ableitung von x(t) nach t und
y° die Ableitung von y(t) nach t .
Für das Flächenelement dA der Fläche A kommt:
dA = ½ r^2 * d(phi) =
½ r^2 * { x^2 / r^2 }* [ x y° - x° y ] / x^2 * dt =
½ [ x y° - x° y ] * dt als Schlussresultat
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
geometrische Interpretation :
dA stellt di Fläche des Dreiecks OPQ dar, wobei
O(0 / 0) , P(x / y), Q(x° dt / y°dt) gilt.
Die doppelte Fläche 2 * dA kann sofort als Determinante
geschrieben werden, nämlich:
2* dA = [ x y° - x° y ] dt = x dy – y dx ,
in der erste Zeile stehen die Elemente x , y
in der zweiten dx , dy .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 10:11: |
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Hi Beat
Wir benützen die Umrechnung von rechtwinkligen
Koordinaten x = x(t),y =y(t) in Polarkoordinaten, also:
r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, phi = arctan (y / x),
Für das Differential d(phi), das in der Sektorformel für
die Fläche A auftritt, erhalten wir mit der Kettenregel und
mit Hilfe der Quotientenregel:
d(phi) ={ 1 / [1+(y/x)^2] }* [ x y° - x° y ] / x^2 * dt
= {x^2 / (x^2 + y^2)}* [ x y° - x° y ] / x^2 * dt =
= {x^2 / r^2 }* [ x y° - x° y ] / x^2 * dt
Dabei bedeutet x° die Ableitung von x(t) nach t und
y° die Ableitung von y(t) nach t .
Für das Flächenelement dA der Fläche A kommt:
dA = ½ r^2 * d(phi) =
½ r^2 * { x^2 / r^2 }* [ x y° - x° y ] / x^2 * dt =
½ [ x y° - x° y ] * dt als Schlussresultat
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geometrische Interpretation :
dA stellt di Fläche des Dreiecks OPQ dar, wobei
O(0 / 0) , P(x / y), Q(x° dt / y°dt) gilt.
Die doppelte Fläche 2 * dA kann sofort als Determinante
geschrieben werden, nämlich:
2* dA = [ x y° - x° y ] dt = x dy – y dx ,
in der erste Zeile stehen die Elemente x , y
in der zweiten dx , dy .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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