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Barbara (laikalou)
Mitglied
Benutzername: laikalou
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juni, 2002 - 22:17: | 
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Beweisen sie folgende Behauptungen (rechtfertigen sie bei Umformungen insbesondere das Vertauschen von Limiten)
i) s>1 gilt:
ò0 ¥ x^(s-1)/((e^x)-1) dx = z(s)*G(s)
ii) Es gilt
ò0 1 log(1/(1-x))dx = 1
Seien 0<a<b<¥
beweisen sie folgende Behauptungen:
a) Es gilt
ò0 1 (x^b-x^a)/(log x) dx = log ((1+b)/(1+a))
b) Es gilt
ò0 ¥ (cos(ax)-cos(bx))/x dx = log(b/a)
mir wär schon sehr geholfen, wenn man mir Hinweise zur Lösunge geben würde.
ich frage mich auch, was in (i) das z(s) bedeutet. Ist das einfach nur eine Konstante?
Vielen Danke für Eure Hilfe!
Barbara |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 280
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 07:35: |
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Barbara :
Hier ist zunächst mal eine Starthilfe zu (i):
Das fragliche Integral heisse J.
Für x > 0 gilt nun (geometrische Reihe !)
1/(e^x - 1) = sum[n=1...oo]e^(-nx).
Vertauscht man (erlaubterweise ?) Summe und Integral ,so kommt
J = sum[n=1...oo| int[0...oo]x^(s-1) e^(-nx) dx
Nun ist
int[0...oo] x^(s-1) e^(-nx) dx = n^(-s) G(s)
wo G für die Gammafunktion steht. Ferner ist
sum[n=1...oo] n^(-s) = zeta(s) , s > 1
die Riemannsche Zetafunktion. Daher
J = zeta(s)*G(s).
mfg
Orion
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Barbara (laikalou)
Mitglied
Benutzername: laikalou
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 09:41: |
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Danke schonmal! ich werde mich nachher da gleich mal ransetzen.
wäre toll, wenn Du auch noch für die andern eine Starthilfe geben könntest, also mich daraufhinweisen, welche Mittel ich anwenden kann...oder ob ich wieder eine Reihe finden soll...(hab bei sowas ein Brett vorm Kopf..ich sehs einfach nicht, überleg mir aber was!)
also nochmals Danke..und bis heute Abend....sag ich einfach mal!
mfg
Barbara |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 281
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 09:46: |
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Fortsetzung :
Warum sind Summe und Integral vertauschbar ? Wir schreiben genauer
1/(e^x-1) = sum[n=1...N]e^(-nx)
+ e^(-Nx)/(e^x-1) , N in IN
und dürfen die endliche Summe sicher
gliedweise integrieren :
J = {sum[n=1...N]n^(-s)}*G(s) + R_N
mit
R_N = int[0...oo]{x^(s-1)/(e^x-1)}*e^(-Nx)dx.
Der Teil des Integranden in { } ist sicher
beschränkt, da das uneigentliche Integral J
konvergiert (beachte s>1 für die untere
Grenze 0 sowie e^x im Nenner für die obere
Grenze oo). Also ist für N-->oo
R_N < C*int[0...oo]e^(-Nx)dx = C/N --> 0.
(ii) Das Integral heisse K. Setze im
Integranden die logarithmische Reihe
log(1/(1-x)) = sum[n=1...oo]x^n/n
ein und integriere gliedweise (überlege,
warum das zulässig ist !) .Dann kommt
K = lim[N->oo]sum[n=1...N]1/n/(n+1)
= lim[N->oo]sum{1/n-1/(n+1)}
= lim[N->oo]{1-1/(N+1)} = 1.
mfg
Orion
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 282
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 18:25: |
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Hinweis zu ii) a) : Für x > 0 gilt
(d/dt)x^t = ln(x)*x^t ==>
(x^b - x^a)/ln(x) = int [a...b] x^t dt.
Das gegebene Integral kann man nun als
Doppelintegral schreiben und darin die
Reihenfolge der Integrationen vertauschen :
int[0...1] {int[a...b]x^t dt}dx
= int[a...b]{int[0...1] x^t dx} dt
woraus das gewünschte Resultat direkt
ablesbar ist.
mfg
Orion |
Barbara (laikalou)
Mitglied
Benutzername: laikalou
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 19:55: |
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Hi!
sag mal warum darf ich denn die geometrische Reihe anwenden? hab gerade im Buch nachgelesen:
Sum(k=0....oo) q^k= 1/(1-q) für Betrag von q <1
aber e^x ist doch immer dem Betrage nach größer als 1.
Barbara |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 283
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 21:52: |
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1/(e^x-1) = e^(-x)/(1-e^(-x)) ; e^(-x) <1 für x>0. |
Barbara (laikalou)
Mitglied
Benutzername: laikalou
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 23:38: |
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ja klar, einleuchtend:
aber wenn doch dann e^(-x)/1-e^(-x) rauskommt, wieso ist dann die Summe trotzdem nur summe (0..oo) e^(-xn) wo ist denn der obere Term geblieben? also der ZÄhler?
vielen Dank!
war auf jeden Fall super hilfreich!
Barbara |
Barbara (laikalou)
Mitglied
Benutzername: laikalou
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 00:39: |
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ähm immer noch ne Frage: woher hast Du denn das sum(n=1....N) (1/n/(n+1)) das kommt mit meinem irgendwie nicht hin....hhmm..*grübel*...
versteh ich nicht. |
Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 13:24: |
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Hi Barbara,
schau dir mal folgende Bilder an!
Beide Seiten stammen aus dem Analysis 1 Band von Otto Förster!
Gruß N. |
Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 13:26: |
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Hi Barbara,
schau dir mal folgende Bilder an!
Beide Seiten stammen aus dem Analysis 1 Band von Otto Förster!
Gruß N. |
Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 72
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 13:31: |
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Hi Barbara,
schau dir mal folgende Bilder an!
Beide Seiten stammen aus dem Analysis 1 Band von Otto Förster!
Gruß N. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 286
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 15:05: |
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Barbara :
1.Es heisst sum[1...oo] und nicht
sum[0...oo] !
2. (1/n)int[0...1]x^ndx = 1/n(n+1) !
mfg
Orion
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Barbara (laikalou)
Mitglied
Benutzername: laikalou
Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 19:09: |
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oh man Danke Leute!
solte mir wohl echt mal den Förster zulegen...hab nämlich nur den Heuser...*grmpf*..
habs jetzt endlich geschnallt...
hatte irgendwie die glecihen Schritte, aber hab ein paar zwischensschritte, die weggelassen wurden, nciht verstanden..hab se jetzt aber!
Danke nochmal an Orion, dass Du so geduldig erklärst!
und danke an Niels für den tollen hinweis...kannst Du mir den nochmal Mailen?wär toll!
das mit der letzten summe ( zu 2. von Orions letztem Beitrag) hab ich verstanden, hab einen kleinen Feher in meiner Rechnung gemahct und 2 statt 1/2 geschrieben..aber jetzt ist alles klar!
Danke Euch!
mfg
Barbara |
Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 73
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 21:34: |
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Hi Barbara,
welchen Hinweis meinst du?
Ich habe einfach meinen Förster genommen, unter meinen Scanner gepackt und die eingescannten notwendigen Seiten hier dir zukommen lassen.
Da ist kein besonderer Trick dabei!
Aber wenn du möchtest kann ich dir die ISBN Nummer vom besagten Buch geben...
mfg
Niels |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 21:55: |
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Hallo Niels,
ich hab zwar nur den Heuser (mit dem ich ehrlich gesagt sehr zufrieden bin), aber der Förster interessiert mich jetzt auch!
Könntest du die Nummer preisgeben?
Mit freundlichen Grüßen
M.
(der, der immer Pech mit Photos hat! ***ggg***) |
Barbara (laikalou)
Mitglied
Benutzername: laikalou
Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 23:26: |
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Hi!
ja bitte, ich möchte auch die Nummer.!!
dachte zwar, Du könntest mir die Seiten auch mailen, wo Du dir schon die Mühe gemacht hast sie einzuscannen..;-)
meinte mit hinweis quasi den Hinweis auf andere Bücher, besonders den Förster und die Seitenzahlen!..*g*
bin bis jetzt auch mit Heuser zufreiden gewesen, aber anscheinend wurde mein Inegral als Beispiel im Förster vorgerechnet....da ärgerts mich doch schon, dass ich da cniht nachgucken konnte...
aber egal...ist ja noch cniht zu spät...
Danke nochmal!
mfg
Barbara |
bän
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 23:53: |
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ich wollt auch mal danke sagen , da es auch mich weitergehilft hat.
Analysis-Lehrbücher
O. Forster: Analysis 1
Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen
Vieweg-Verlag, 6. Aufl. 2001
ISBN 3-528-57224-8
O. Forster und R. Wessoly: Übungsbuch zur Analysis 1
Aufgaben und Lösungen
Vieweg-Verlag, 2. Aufl. 1997
ISBN 3-528-07261-X
O. Forster: Analysis 2
Differentialrechnung im Rn
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Vieweg-Verlag, 5. Aufl. 1996
ISBN 3-528-37231-1
O. Forster und Th. Szymczak: Übungsbuch zur Analysis 2
Aufgaben und Lösungen
Vieweg-Verlag 1995
ISBN 3-528-07273-3
O. Forster: Analysis 3
Integralrechnung im Rn mit Anwendungen
Vieweg-Verlag, 3. Aufl. 1996
ISBN 3-528-27252-X
das ist übrigens das, was man erhält, wenn man otto forster + analysis + isbn eingibt
gruss bän |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 13:41: |
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Hallo bän,
guter Tip! Man sollte einfach mal öfters an Suchmaschinen denken...
Mit freundlichen Grüßen
M.
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