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Beitrag |
    
Lulu St.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 14:58: | 
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Hallo,
bei der folgenden Aufgabe finde ich keinen Zugang.
Für die implizit gegebne algebraische Kurve
x ^2 * y + x ^ 2 – y ^ 2 = 0 bestimme man alle Doppelpunkte
samt Tangenten, sowie die Asymptoten.
Für jede Hilfe bin ich dankbar
Lulu
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 18:01: |
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Hi Lulu,,
Wir nehmen das Resultat voraus.
Die Kurve besitzt genau einen Doppelpunkt im
Nullpunkt mit zwei verschiedenen Tangenten
Die Gleichungen dieser Tangenten sind
y = x und y = - x
Als einzige Asymptote tritt die zur x-Achse parallele
Gerade mit der Gleichung y = - 1 auf.
Vorbemerkungen
Die Kurve ist zur y -Achse symmetrisch, wie man leicht erkennt.
Löst man die Relation y^2- x^2 y – x^2 = 0 , die in y gemischt
quadratisch ist, nach y auf, so erhält man zwei Zweige:
y = y1 = [x^2 + wurzel (x^4 + 4 x^2)] / 2 und
y = y2 = [x^2 + wurzel (x^4 + 4 x^2)] / 2
Der Graph der ersten Funktion verläuft im 1.und 2.Quadrant
(Teilkurve c1 im ersten Quadrant, c2 im 2.Qudrant),
derjenige der zweiten Funktion im 3.und 4. Quadrant
(Teilkurve c3 im dritten Quadrant, c4 im vierten Quadrant).
Beide Zweige haben genau den Nullpunkt O als Doppelpunkt der
gegebenen Relation gemeinsam ,weitere gemeinsame Punkte gibtes nicht.
Um die Asymptote zu finden, lösen wir die Relation nach x^2 auf:
x ^ 2 = y ^ 2 / ( y + 1)
Sofort lesen wir ab :
Die Gerade y = - 1 ist eine horizontale Asymptote
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Stichwort: x unendlich bei endlichem y .
Es gibt
Nun berechnen wir den Term T = (y / x) ^ 2 ; Ergebnis:
T = y +1.
Wir erkennen:
Der Grenzwert von y/x für x gegen null (also auch für y gegeben Null)
stimmt mit der Steigung m einer (allfälligen) Tangente in O überein.
Für m erhält man die Gleichung m^2 = 1 mit den Lösungen
m1 = 1 , m2 = -1
m1 ergibt die Steigung der Vereinigung der oben definierten
Kurventeile c1 , c3 und
m2 diejenige der Vereinigung der Teile c2 , c4 ,
wie eine eingehende Untersuchung ergibt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Lulu St.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Juni, 2002 - 17:33: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Vielen Dank für Deine prompte Lösung.
Ich habe noch eine Zusatzfrage, die Du mir
sicher beantworten kannst.
Der oberhalb der x-Achse liegende Teil der Kurve
soll eine asymptotische Kurve besitzen.
Wie lautet die Gleichung dieser Kurve ?
Darf ich Dich bitten, dieses Problem auch noch
zu lösen ?
Mit bestem Dank !
Lulu
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Juni, 2002 - 17:59: |
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Hi Lulu
Deine Frage lässt sich schnell beantworten
Wir gehen von den in meinem Beitrag hergeleiteten Gleichungen
y = y1 = [x^2 + wurzel (x ^4 + 4 x^2)] / 2
y = y2 = [x^2 - wurzel (x ^ 4 + 4 x^2)] / 2
aus.
Massgeblich für Deine Zusatzfrage ist die erste der beiden
Funktionsgleichungen mit dem positiven Zeichen vor der Wurzel,
die wir so umformen:
y1 = ½ x^2 * [1 + wurzel ( 1 + 4/x^2) ] ; lassen wir nun x gegen unendlich
gehen, so erkennen wir in der Gleichung
y = ½ * x^2* [1 + 1] = x ^ 2 die Gleichung der asymptotischen Kurve,
welche eine Parabel darstellt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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