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Stetigkeit

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Jana
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 20:30:   Beitrag drucken

Die Funktionen f, g:]a,b[-> |R, a<b seien stetig mit f(x)=g(x) für alle x E]a,b[geschnitten mit Q. Zeige, dass f(x)=g(x)für sämtliche xE]a,b[ gilt. Bleibt die Aussage noch wahr, wenn die Stetigkeit von f oder g nicht gefordert wird?

Bitte darum, den Beweis ausführlich zu schreiben.
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M.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Juni, 2002 - 01:49:   Beitrag drucken

Hallo Jana,
zu jedem x aus ]a,b[ (egal ob rational oder irrational) existiert eine Folge rationaler Zahlen (rn) aus ]a,b[ mit lim(an)=x. (Q liegt dicht in IR!).
Dann ist lim f(rn)=f(x), lim g(rn)=g(x) (bei n->oo)
Da f(rn)=g(rn)
=> f(x)=g(x)

Du kannst das auch so überlegen:
Angenommen, es gibt irrationale Zahlen nahe bei einer Zahl q aus Q, so dass die Differenz der Funktionswerte immer größer als ein epsilon>0 bleiben. Dann gibt stets zwei rationale Folgen, die sich von jeder Seite an diese Zahl nähern (also von rechts bzw. links).

Sind f(x) und g(x) nicht stetig, so kannst du dir folgende Funktionen definieren:
f(x):=1, falls x aus Q
f(x):=0, falls x aus IR\Q
(Dirichlet-Funktion!)

g(x):=1, falls x aus Q
g(x):=2, falls x aus IR\Q

(natürlich meine ich hier eigentlich genauer:
wenn x aus ]a,b[ und zusätzlich x aus Q ...)

f und g sind an allen rationalen Stellen gleich!
Denn für x aus Q gilt f(x)=g(x)=1.
Ist x aus IR\Q, so ist jedoch f(x)<g(x), da 0<2. Somit bleibt die Aussage nicht gültig, wenn man nicht die Stetigkeit fordert!

Mit freundlichen Grüssen
M.
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maxi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 09:52:   Beitrag drucken

Hallo M.,

was heißt eigentlich Q liegt dicht in R?

Gruß maxi
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ende (ende)
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Mitglied
Benutzername: ende

Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 11:43:   Beitrag drucken

Hi, maxi!

Diese Aussage bedeutet, dass der Abschluss von Q in IR schon ganz IR ist.
Anders ausgedrueckt:
Ist x aus IR eine beliebige reelle Zahl, dann findest Du in jeder beliebigen noch so kleinen Umgebung von x auch eine rationale Zahl.
Insbesondere in jedem Intervall ]x-eps, x+eps[ fuer eps > 0.

Klar geworden?

Gruss, E. ;-)
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maxi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 11:58:   Beitrag drucken

Hi Ende!
Danke, ich denke schon! Weiß schon,dass das ziemliche Trivialmathematik für Universitätsniveau ist! Ich dachte dass dicht vielleicht heißt, dass zwischen 2 Rationalen Zahlen immer noch eine gefunden werden kann, die zwischen ihnen liegt und dass Q dicht in R liegt, dachte ich bedeutet, dass ja alle rationalen Zahlen gleichzeitig auch reelle Zahlen sind :-)

Gruß maxi
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M.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 17:21:   Beitrag drucken

Hallo maxi,
na, übertreiben wir mal nicht. Die Aussage, dass Q dicht in IR liegt, (einwandfrei) zu beweisen, ist gar nicht so trivial.
Aber mich freut dein Interesse!
@ende:
besser hätte ich es auch nicht erklären können!
Danke!

Mit freundlichen Grüssen
M.

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