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Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 17:47: | 
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Es sei phi positiv definit.Für x,y e V Y ungleich 0 betrachte man polynomiale Funktion p(t)=|x+ty|^2 in t e R.Man bestimme alle Nullstellenund folgere die Schwarzersche Ungl. |([x+y]|^2 < = [x,x][y,y]
wobei [] Skalarprodukt heßen soll.
Sind die Nullstellen nich einfach t= -x/y? |
Silth
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 11:24: |
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Hallo Peter!
Hier eine paar Tipps und Tricks:
0 = p(t) = |x+ty| = <x+ty,x+ty> = <x,x> + <ty,x> + <x,ty> + <ty,ty> = <x,x> + 2t<x,y> + t^2<y,y>
= t^2 + 2t*<x,y>/<y,y> + <x,x>/<y,y> (da y ungleich 0)
Daraus folgt mit p-q-Formel:
t_1,2 = -<x,y>/<y,y> +/- Wurzel[(|<x,y>|^2 -<x,x>*<y,y>)/<y,y>^2]
Nun ist nur noch zu zeigen,
(1)dass p(t) keine Nullstelle hat, wenn x,y lin. unabh. (leicht, da y ungleich 0, daraus folgt x ungleich Null (lin. unabh.) daraus folgt es ex. KEIN t aus R mit x + ty = 0)
(2) x,y lin. abh., daraus folgt: p(t) hat genau eine Nullstelle. (Widerspruch, sehr leicht: Angenommen, es ex. noch ein s aus R mit s ungleich t mit x + sy = 0, dann ist x + sy = x + ty .....)
Nun nur noch diese Ergebniss in obiger p-q- Formel verwerten, dann ergibt sich: Wurzelterm gleich Null, wenn x,y lin. abh., da ja genau eine Nullstelle; und Term unter der Wurzel negativ, wenn x,y lin. unabh., da ja keine Nullstelle ex.. Daraus folgt dann die Schwarzsche Ungleichung!
mfg Silth |
peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 14:47: |
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Vielen Dank.
Leuchtet ziemlich ein:-)
MFG Peter |
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