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eigenschaften von funktionen

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paul
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 12:08:   Beitrag drucken

hallo...

Sei n element N . Es seien a1,...,an reelle Zahlen mit an < 0.
Zeigen sie : Die durch

p(x)= x hoch n + a1 x hoch n-1 +...+ an-1 x + an

definierte POlynomfunktion p: R-->R besitzt mindestens eine (positive) reelle NUllstelle.

wer weiß mir zu helfen...paul
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epsilon
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 20:47:   Beitrag drucken

Hi paul,

falls n ungerade ist, ist
lim (x-> - unendl.) p(x) = - unendl.
lim (x-> + unendl.) p(x) = + unendl.
also muss irgendwo dazwischen mindestens eine Nullstelle liegen (Zwischenwertsatz für stetige Funktionen)

falls n gerade ist, dann ist
lim (x-> - unendl.) p(x) = + unendl.
p(0) = an < 0
lim (x-> + unendl.) p(x) = + unendl.
also gibt es (wieder Zwischenwertsatz) eine Nullstelle zwischen -unendl. und 0 und eine zwischen 0 und + unendl., d.h. mindestens 2 Nullstellen

Gruß epsilon



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