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Beitrag |
    
Kay Schönberger (kay_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kay_s
Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 10:08: | 
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Hallo,
Rein interessehalber suche einen Beweis für die Gleichung
Aufgrund der interessanten Symmetrie würde ich mich sehr freuen, wenn jemand einen Beweis/-ansatz hierzu kennt.
Kay S. |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 519
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 19:10: |
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Hi Kay
In welchem Zusammenhang bzw. in welchem Buch hast Du die Gleichung gefunden?
viele Grüße
SpockGeiger |
Kay Schönberger (kay_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kay_s
Nummer des Beitrags: 83
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 20:26: |
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Hi Spockgeiger,
Schau Dir die folgende Seite an:
http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/itrexp/itrexp.html
Dort stehen interessante Eigenschaften der Funktion f(x) = xx.
In Bezug auf die Reihe wird dort auf einen Beweis durch "term-by-term integration of Maclaurin series expansions" verwiesen.
Meines Wissens sind MacLaurin-Reihen einfach Taylorreihen mit Entwicklungspunkt x0 = 0. Bekannterweise ist aber die Taylorreihe von f(x) = 1/xx unregelmäßig, ich weiß also nicht, was die sich dabei gedacht haben.
Aber vielleicht siehst Du ja mehr als ich...
Kay S. |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Juni, 2002 - 17:18: |
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Hallo Kay,
das mit der MacLaurin- bzw. Taylorreihe stimmt schon. Ich hab zwar die Koeffizienten nicht formal berechnet, aber eine symbolische Entwicklung zeigt was gemeint ist: Alle Terme mit ln(x)k*xn fallen bei x=0 und x=1 weg. Es bleiben nur die Terme xn/nn über. (Wär ne nette Übung zu beweisen, dass die Koeff. tatsächlich 1/nn sind, ich glaubs einfach so)
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SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 521
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 14:00: |
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Hi egal
Ist mir irgendwie zu hoch. Ich dachte, die McLaurin-Reihe wäre f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!+... Wo kommt denn das ln(x) bei Dir her?
viele Grüße
SpockGeiger |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 15:37: |
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Hallo SpockGeiger,
das war eine symbolische Entwicklung von MathCad, nur um das Prinzip zu zeigen. Aber es geht auch per Hand: x-x=e-x*ln(x)
Setze in die Taylorreihe von ez=S¥ n=0zn/n! einfach z=(-x*ln(x)) ein. Bei der gliedweisen Integration kann man In = ò0 1(-x*ln(x))n durch wiederholte partielle Integration berechnen (xn bleibt wegen ln(x)'=1/x unverändert, der Exponent der ln-Potenz wird bei jedem Schritt um 1 verkleinert, der ausintegrierte Teil ist an beiden Grenzen =0). Schließlich ergibt sich In = n!/(n+1)n+1
Jetzt fehlen nur noch Details. Ich hoffe jetzt sieht man deutlicher was ich gemeint hab.
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SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 523
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 19:09: |
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Hi egal
Danke. Ich mach immer denselben Fehler. Statt auf bekannte Reihenentwicklungen zurückzugreifen, versuche ich immer die Ableitungen auszurechnen, was meistens zum Scheitern verurteilt ist.
viele Grüße
SpockGeiger |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 524
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 19:25: |
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Hi
Maple bestätigt egals Kalkulationen. Mir reicht das. Euch auch?
viele Grüße
SpockGeiger |
Kay Schönberger (kay_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kay_s
Nummer des Beitrags: 84
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Juni, 2002 - 09:50: |
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Hi,
Ok, ich geb' mich zufrieden!
Kay S. |
