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Rektifizierbare Kurve bewegungsinvariant

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Sarah
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 21:32:   Beitrag drucken

Hallo Leute,
ich habe ihr eine Aufgabe zum Thema Bogenlänge einer rektifizierbaren Kurve, die eigentlich ganz leicht sein soll, aber irgendwie habe ich da ein Brett vor dem Kopf:
Zu zeigen:
a) Die Bogenlänge einer rektifizierbaren Kurve c: [a,b] nach R^n ist bewegungsinvariant, d. h.: Für jede Bewegung b:R^n nach R^n gilt: L(b verknüpft mit c) = L(c)(L = Länge der Kurve c)

b)Für a,b aus R^n ist die Verbindungsstrecke von a nach b die kürzeste unter allen stückweise stetig diffbaren Kurven von a nach b (Hinweis: nach a) kann oBdA a = 0, b = s*e_1 mit s > 0 angenommen werden)
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Luna
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 29. Juni, 2002 - 07:15:   Beitrag drucken

Hey Sarah,
gibt es nicht eine Formel, mit der man die Bewegung anders darstellen kann?
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orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 278
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 29. Juni, 2002 - 08:04:   Beitrag drucken

Sarah :

Die Kurve C sei in Parameterdarstellung
gegeben durch

t--> r(t) = (x_1(t),x_2(t),...,x_n(t)); a=<t=<b.

Dabei sind die x_i(t) stückweise stetig diffbar.
Die Bogenlänge ist dann nach Definition

L = int[a...b] | r'(t) | dt

wobei | | der gewöhnliche Betrag ist:

Eine Bewegung des IR^n wird nun beschrieben durch

r -> r* = A r + c

wobei A eine orthogonale Matrix und c ein
Vektor ist. Es folgt

r*'(t) = A r'(t) ==> | r*'(t) | = | A r'(t) | = | r'(t) |

denn der Betrag eines Vektors ändert sich
bei Multiplikation mit einer orthogonalen
Matrix nicht.

mfg

Orion

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Sarah
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juni, 2002 - 17:05:   Beitrag drucken

Hallo Orion!
Vielen Dank für Deine Hilfe. Hat mich wirklich weitergebracht!
mfg Sarah

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