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Beitrag |
    
Sarah
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 21:15: | 
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Hallo, ich bins wieder!
Da denkt man, man hätte erst einmal genug von diesen Topologieaufgaben, da bekommt man gleich die nächste:
Fortsetzung von "Träger von h:R^n nach R":
Es seien K Teilmenge R^n kompakt, U_1,...,U_m Teilmenge R^n offen und K Teilmenge (Vereinigung(j= 1 bis m )U_j). Zeigen Sie:
c) Es gibt kompakte Mengen K_1,...,K_m Teilmenge R^n mit K_j Teilmenge U_j (j = 1,...,m) und K = Vereinigung(j = 1 bis m )K_j
d)Es gibt f_1,...,f_m unendlich oft stetig diffbar mit 0<=f_j<=1, Trf_j Teilmenge U_j (j = 1,...,m) und Summe(j = 1 bis m)f_j beschränkt auf K = 1
Es wäre echt schön, wenn da ein paar Hinweise für mich drin wären. |
Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1151
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 19:13: |
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Jetzt aber! Hatte erst versucht, c für allgemeine metrische oder gar allgemeine topologische Räume zu beweisen. Nehme mal an, dass es dafür nicht gilt. Für R^n aber schon:
Zeige die Behauptung für m = 2 (und den Rest dann mit vollst. Induktion).
Seien also U1, U2 offen und K Teilmenge U1 vereinigt U2.
Für x aus K existiert offene Kugel C(x) mit Mittelpunkt x und C(x) Teilmenge U1 oder C(x) Teilmenge U2. D(x) sei eine offene Kugel mit Mittelpunkt x und halben Radius wie C(x). Da K kompakt, existieren x1, ..., xk, sodass K Teilmenge der Vereinigung der D(xi). Sei A(xi) die abgeschlossene Kugel mit Mittelpunkt xi und demselben Radius wie D(xi).
Setze nun
K1 = Vereinigung der A(xi), die in U1 enthalten sind
K2 = Vereinigung der anderen A(xi)
Beachte: Die A(xi) sind kompakt. (Und damit auch K1 und K2 - das gilt beileibe nicht in jedem metrischen Raum!)
(Beitrag nachträglich am 25., Juni. 2002 von zaph editiert) |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
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Nummer des Beitrags: 1152
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 20:34: |
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Quatsch!
K1 = K geschnitten (Vereinigung der A(xi), die in U1 enthalten sind)
K2 = K geschnitten (Vereinigung der anderen A(xi))
Hoffe, jetzt stimmt's! |
Zaph (zaph)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 21:03: |
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Zu d ist mir jetzt auch noch was eingefallen. Was hältst du vom folgenden?
Für K_i wähle Funktionen g_i gemäß der anderer Aufgabe.
Setze dann
f_i(x) = 0, falls g_i(x) = 0
f_i(x) = g_i(x)/(g_1(x) + ... + g_m(x)), sonst
(Beitrag nachträglich am 25., Juni. 2002 von zaph editiert)
(Beitrag nachträglich am 25., Juni. 2002 von zaph editiert) |
Sarah
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 11:04: |
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Vielen herzlichen Dank, Zaph!
Du hast mir wirklich weitergeholfen. Eine schöne Restwoche wünsche ich Dir!
Sarah |
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