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Beitrag |
    
Diane
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 11:23: | 
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Hi Leute!
A) Zeigen Sie, dass die Menge P(IN) aller Teilmengen von IN überabzählbar ist.
B) Sei M eine Menge der gleichen Mächtigkeit wie IR. Zeigen Sie: Ist A eine höchstens abzählbare, zu M disjunkte Menge, dann hat auch die Vereinigung M+A die gleiche Mächtigkeit wie IR.
C) Folgern sie nun aus B dass alle Intervalle (ungleich der leeren Menge) in IR die gleiche Mächtigkeit wie IR haben.
Wie zeige ich, das alles am geschicktesten?
Grüßle di |
Diane
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 15:58: |
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Hi!
Ich weiß ich nerv! Aber ich muß das bis Donnerstag gemacht haben und wäre für alles dankbar: Tipps, Lösungsvorschläge, Anregungen!
Also bitte, helft mir!
Grüßle di |
ende (ende)
Mitglied
Benutzername: ende
Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 17:23: |
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Hi, Diane!
Ich persoenlich fuehle mich nicht genervt. Ich wollte sogar Deine Frage schon beantworten, als Du sie gestellt hattest, hatte dann aber keine Zeit und spaeter vergessen. Von daher freut es m ich sogar, dass Du mich nochmal aufmerksam gemacht hast. :-)
Nun aber zu Deiner Frage:
Zu A): Dass P(IN) unendliche Maechtigkeit hat, ist ja irgendwie klar. Wenn P(IN) nicht ueberabzaehlbar waere, bliebe also nur noch uebrig, abzaehlbar zu sein. Nun nimmst Du also an, dass P(IN) abzaehlbar ist. Das heisst, dass es eine Bijektion f:IN -> P(IN) gibt. Bijektiv heisst insbesondere surjektiv. Jetzt kannst Du Dich fragen, ob die Menge C := {n aus IN|n ist nicht aus f(n)} im Bild von f enthalten sein kann. (Noch ein kleiner Hinweis, weil die Zeit ja knapp wird: Mal angenommen, C ist im Bild von f enthalten. Dann gibt es ein n0 mit f(n0) = C. Jetzt ueberleg mal, ob es moeglich ist, dass n0 Element von C ist. Wenn nicht, dann ueberlege, ob es moeglich ist, dass n0 nicht Element von C ist. Wenn nicht, dann hast Du in beiden Faellen einen Widerspruch erzeugt, und es kann keine solche Bijektion f geben. Dann bist Du fertig.)
Zu B): Nach Voraussetzung gibt es eine Bijektion f:IR -> M. (Ich schreibe fuer die Vereinigung M u A.)
1. Fall: A ist endlich. Dann gibt es ein n aus IN mit A = {a1, ..., an}. Nun definiere die Funktion
g:IR -> M u A,
g(x) := f(x - n), falls x aus IN und x > n,
g(x) := ax, falls x aus IN und x <= n, und
g(x) := f(x) sonst.
Nun musst Du nur noch nachrechnen, dass g auch eine Bijektion ist.
2. Fall: A abzaehlbar unendlich. Dann gibt es eine Bijektion h:IN -> A. Hier definiere nun etwas raffinierter die Abbildung g: IR -> M u A durch
g(x) := f(x/2), falls x aus 2IN,
g(x) := h((x+1)/2), falls x+1 aus 2IN, und
g(x) := f(x) sonst.
Wieder muesstest Du recht einfach nachweisen koennen, dass g eine Bijektion ist. (Kleiner Hinweis: Beim Nachweis der Bijektivitaet geht auch ein, dass A disjunkt zu M ist.)
Zu C): Mir faellt jetzt nicht ein, wie man B) verwenden koennte. Vielleicht hast Du ja selbst eine Idee. Poste sie mal hier, wenn sie Dir eingefallen ist. :-)
Gruss, E. |
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