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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 20:05: | 
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Bitte erklärt mir das:
f: R^3-->R^3
x-->Ax
A= Matrix mit Rg 2
ist nun f injektiv oder surjektiv oder gar bijektiv aber warum genau ? Bitte ausführlich erklären, danke an den Könner der das weiß! |
poser
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 00:50: |
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eine 3x3 matrix mit rang 2 bedeutet ja, dass bei der transformation durch die matrix prinzipiell eine dimension verloren geht.
surjektiv würde bedeuten, dass jedes element aus R³ bild von f ist also zu jedem x aus R³ existtiert mindestens ein y aus R³ mit y = f(x).
wenn durch A aber eine dimension wegfällt , so kann f nicht injektiv sein.
wäre f injektiv so würde gelten:
zu jedem y=f(x) existiert höchstens ein x so dass y=f(x) . da A eine lineare transformation bedeutet , so muss aufgrund der linearität A injektiv sein.
bijektiv entfällt wegen fehlender surjektivität.
wenn A invertierbar ist , so ist so ist auch finvertierbar und somit surjektiv.
ich wünsche viel glück |
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 15:21: |
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Hallo Poser!
also die Begründung für surjektiv hab ich begriffen,
aber nicht wieso aus der Linearität der Abbildung injektiv folgt nicht,
dann wäre es wohl so falls noch ein Verschiebungsvektor '(Translation) bei der Abb. dabei wäre, würde daraus folgen NICHT INJEKTIV???
A invertierbar => f invertierbar ist klar, da f ja eine lin. Abb. aber wieso folgt die surjektivität daraus?
Vielen lieben DAnk |
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 15:36: |
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gleich nochmal ne Frage:
Bedeutet Rg (A) = 2 dass das Bild der Abbildung die dim 2 hat und besagt dann automatisch der Kern-Bild-Satz, dass die dim (Kern) = 1 ist, oder kann man das auch noch anders ausrechnen?
Sorry wenn's jetzt in eine etwas andere Richtung geht, aber interessiert mich halt grad! DANKE |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 15:39: |
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Hi Maxi,
du musst gucken, was du nach VL weisst. Wenn Du die Dimensionsformel schon kennst, ist es ganz einfach, es gilt nämlich:
3 = dimImf + dimkerf. Also hier sogar: 3 = rangA + dimkerA. Also: Dimensio des Bildes ist 2, kann also niemals der R^3 sein. Damit ist A nicht surjektiv. dimkerA ist 1, also ist der Kern nicht trivial und damit ist A nicht injektiv.
Im übrigen ist, falls die Abbildung von einem endlich-dimensionalen VR in einen endlich-dimensionalen VR derselben Dimensio geht äuqivalent:
injektiv, surjektiv, bijektiv.
(Bei linearen Abbildungen).
Man braucht hier also nur eines nachzuweisen bzw. zu widerlegen.
Gruß clara |
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 15:58: |
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Viele, viele Fragen, also schon mal DANKE
was heißt VL ??
"hier sogar": heißt das dass es nicht immer so ist, dass dim (bild f) = rang (A) , wie wäre es wenn f nicht lin. wäre?
wie hängt A invertierbar und surjektiv zusammen?
was ist der Kern anschaulich und wieso ist er nicht trivial (wäre trivial dim kern = 0?) und wieso folgt daraus nicht injektiv?
gibt's einen Beweis für die Äquivalenz von surj. und inj. für lin. Abb.?
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poser
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 20:47: |
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also das mit dem Kern-bild-satz stimmt natürlich und daraus folgt leider auch sofort, dass die abbildung nicht injektiv ist, da wenn Kern eindim ist, so werden ja mehrere vektoren auf 0 abgebildet also meine begründung für injektiv war schwachsinnig.
invertierbar gilt nur bei bijektivität.
bän
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Maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 07:44: |
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der Kern sind doch alle x e V die auf den Nullvektor abgebildet werden, bedeuted dann nicht 1dimensional, dass es nur 1 Vektor ist und 0dimensinal dass nur der 0Vektor auf sich selbst abgebildet wird, dass geht doch irgendwie nicht zusammen, aber anscheindend gibts da ja noch einen anderen, aber wie kommt man auf den?
Nehm ich da die elementar umgeformte Matrix (dim2) und wähle x3 frei und rechne mir dann x2 und x1 dementsprechend aus? Aber dann kriege ich ja theoretisch mehr als 1 Vektor der auf die 0 abgebildet wird, nämlich noch zusätzlich alle die zu dem errechneten lin abhängig sind, hä????
Sorry, dass ich immer so frage, aber irgendwo ist da ein Knoten bei mir, kann den mal jemand öffnen?? Danke
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poser
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 22:43: |
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stell dir die matrix so vor, dass jede spalte das bild eines der basisvektoren ist.
Wenn du die matrize elementarumformst, so schreibe unter die matrix die einheitsmatrix und benutze spaltenoperationen, die du sowohl ander matrix als auch an der einheitsmatrix vollführst.
irgendwann wirst du ja eine spalte nullen.die spalte unter der nullspalte gibt dir den vektor des ursprungsraumes an, der auf 0 abgebildet wird .
dieser vektor ist basisvektor für ker(a)!!!!!
Also sind dieser vektor als auch alle liniear von ihm abhängigen ( also alle vielfachen ) in ker(a).
Eindimensional heisst also nicht nur ein Vektor wird auf 0 abgebildet, sondern der raum , der von einem vektor erzeugt wird!!!!
es gibt sicher auch andere möglichkeiten einen vektor aus ker(a) zu finden, jedoch denke ich, dass diese methode sehr einleuchtend ist.
Wenn nicht nachfragen!!!!!
BÄN
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M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 23:12: |
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Hallo,
Sorry, dass ich störe!
Ich weiß zwar nicht, ob es euch hilft, aber es gibt einen Satz, dass eine k-lineare Abbildung genau dann injektiv ist, wenn Kern(f)={0} (*)
Surjektiv kann die Abbildung oben schon nicht sein, da RangA=2<3.
Beweis zu (*):
"=>"
Sei f injektiv. Seien a,b aus IR³.
Da f k-linear ist, ist
f(0)=f(a-a)=f(a)-f(a)=0
Da f injektiv ist, ist der Kern einelementig.
Damit ist Kern(f)={0}.
"<="
Sei Kern(f)={0}.
Sei nun f(a)=f(b).
Da f k-linear ist =>
0=f(a)-f(b)=f(a-b).
D. h. a-b ist aus dem Kern(f).
=>
a-b=0 <=> a=b
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 00:16: |
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- Seien a,b aus IR³.
Sagen wir lieber, seien a,b aus dem Vektorraum über K...
Ist etwas allgemeiner. Und dann noch:
f: V->W sei k-linear...
Mit freundlichen Grüßen
M. |
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 06:48: |
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hi poser,
deine Methode zur Bestimmung der Basis v. Ker(A) ist sehr schön erklärt und einleuchtend, aber hat meine auch gestimmt?
Gruß maxi |
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 06:54: |
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hallo m,
weiß heißt k-linear? linear kenne ich! ich habe noch nicht verstanden, warum aus a-b ist aus Kern (f) => a-b=o, ich dachte für den Kern muß nur gelten das Bild soll der 0Vektor sein?
Gruß maxi |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 13:45: |
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Hallo maxi,
k-linear heißt die Funktion ist linear, und V ist Vektorraum über dem Körper K.
f: V -> W
W ist auch Vektorraum über K.
Dass nennt man meistens direkt linear (glaube ich, zumindest ist mir kein wesentlicher Unterschied bekannt!).
D.h. wenn du die Koordinaten eines Vektors angibst, sind die Koordinaten aus dem Körper K!
K ist dabei ein Körper, wie z.B.
IR, IR²,...,C,C²,...
C sind die komplexen Zahlen.
Q ist z.B. ebenso ein Körper!
Bei der Richtung "<=" haben wir als VORAUSSETZUNG:
Kern(f)={0}
D.h. der Kern enthält NUR den 0-Vektor!
Wenn wir wissen, dass a-b aus dem Kern(f) sein soll, haben wir nur diese eine Möglichkeit:
Wir haben nachgewiesen:
f(a-b)=0 (*)
Nach der Definition des Kerns muß also (a-b) in dem Kern(f) liegen, da (*)!
=>
a-b=0, da in dem Kern NACH VORAUSSETZUNG kein anderer Vektor existiert!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 14:16: |
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Übrigens:
Zu der Logik eines Äquivalenz-Beweises:
zu zeigen:
A <=> B
Heißt:
"=>"
Unter der Voraussetzung, dass A gilt, muß man zeigen, dass dann zwingend B gelten muss!
"<="
Unter der Voraussetzung, dass B gilt, muß man zeigen, dass dann zwingend A gelten muss!
Eine von der Schule her gern gemachte Methode ist, Äquivalz zu zeigen:
"Wenn A gilt => ("=>" heißt eigentlich "folgt zwingend!") B gilt!"
"Wenn A nicht gilt => B gilt auch nicht!"
Dass man einen "Äquivalenzbeweis derart führen darf, kann man auch beweisen:
A <=> B
Aus A => B wird definiert:
<=> "nicht A oder B"!
Mach dir eine Tabelle dazu:
1 bedeutet Aussage stimmt
0 bedeutet Aussage ist falsch
Damit:
A___B___A=>B
0___0____1
0___1____1
1___0____0
1___1____1
Etwas schwieriger ist zu erklären, warum "A=>B" wahr ist, wenn sowohl A falsch als auch B falsch ist.
A => B ist wahr, denn A => B besagt nur, was mit B sein muss, wenn A gilt!
A gilt aber nicht nach Voraussetzung. Damit kann A => B nicht falsch sein!
Hmmm, bin aber doch jetzt sehr unsicher mit dieser Argumentation.
Wenn es so nicht stimmt, bitte ich um Korrektur!!!
Dann:
A => B :
((nicht A) oder B)
<=>
(nicht(nicht B) oder (nicht A))
<=> (nach Definition von "=>")
(nichtB) => nichtA
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 22:16: |
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Hallo maxi,
mit meinem Beitrag von 15:16 läßt sich übrigens
"<=" auch noch anders beweisen:
Bei "=>" hatten wir als Voraussetzung, f sei injektiv.
Beweis von "<=" auf anderem Wege:
Voraussetzung(Annahme): f sei nicht injektiv.
Dann gibt es a,b mit a<>b (<> heiße hier ungleich!!! Nicht verwechseln mit < bzw > aus geordnetem Körper!!!)
aus V, so dass f(a)=f(b)
<=>
f(a)-f(b)=0
Da f linear ist
=>
f(a-b)=0 (**)
Da a<>b => a-b<>0.
D.h. Kern(f)={0,a-b,...} (wegen (**) und 0 ist immer in Kern(f)!).
Somit existiert mindestens ein von 0 verschiedener Vektor (nämlich (a-b)) in Kern(f).
=>
Kern(f)<>{0}
Mit freundlichen Grüssen
M. |
Steffi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2006 - 12:44: |
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Hi Leute,
habe ein Problem mit einer Aufgabe:
f(x)= x²+ax+1, f: [0,+unendlich]
wie kann ich alle reellen Zahlen a bestimmen, so dass die Funktion injektiv ist.
Wäre voll cool wenn mir einer helfen könnte. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2062
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2006 - 15:52: |
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Hallo Steffi
Tipp: Schau dir mal an wann die Funktion streng monoton wächst(Ableitung).
MfG
Christian |
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