| Autor |
Beitrag |
    
Nero
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 15:45: | 
|
Hallo
Ich sitze schon seit einiger Zeit vor folgender Aufgabe:
Es seien X ein Hausdorf-Raum und K,L Teilmengen von X kompakt, K Geschnitten L = 0 (leere Menge) .
Zeigen Sie;
Es gibt offene Mengen U,V aus X mit K aus U, L aus V, so dass U geschnitten V=0
Komme allerdings nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
|
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1130
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 17:34: |
|
Ich nehme mal an, K und L sollen kompakt sein, und nicht X!? (Sonst stimmt das ja auch nicht!)
Was heißt noch mal "hausdorffsch"? Finde meine Unterlagen gerade nicht. |
Nero
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 17:51: |
|
Hallo Zaph
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
X Hausdorff- Raum heißt:
Für alle x,y aus x exestieren Umgebungen v von x und W von y , so daß V geschnitten W = 0 ist.
Das sieht ja schon so aus, wie dass was ich zeigen muß, doch ich weiß einfach nicht, wie ich es in den Beweis einbauen soll.
P.S.: Du hast recht, K und L sollen kompakt sein. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1131
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 19:29: |
|
Na denn, hier eine Skizze. Details bitte selbst überlegen oder rückfragen.
Für x aus K und y aus L seien U(x,y) und V(x,y) offene Mengen mit x aus U(x,y), y aus V(x,y) und U(x,y) geschnitten V(x,y) = leer.
Für x aus K bildet {V(x,y) | y aus L} eine offene Überdeckung von L.
Da L kompakt, existieren y1,...,yn, sodass {V(x,y1),...,V(x,yn)} Überdeckung von L.
Setze
U(x) = Schnitt der Mengen U(x,y1),...,U(x,yn),
V(x) = Vereinigung der Mengen V(x,y1),...,V(x,yn),
U(x) und V(x) sind offen. Außerdem x aus U(x), L Teilmenge V(x).
{U(x) | x aus K} bildet offene Überdeckung von K. Da K kompakt, existieren x1,...,xm, sodass {U(x1),...,U(xm)} Überdeckung von K.
Setze
U = Vereinigung von U(x1),...,U(xm),
V = Schnitt von V(x1),...,V(xm).
|
Luna
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 08:08: |
|
Hallo Zaph
die Lösung sieht wirklich gut aus, aber in welcher Abhängigkeit von x und y wählst du denn dein U(x,y) und dein V(x,y)? |
ende (ende)
Mitglied
Benutzername: ende
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 08:27: |
|
Hat er doch geschrieben. U(x, y) enthaelt x, V(x, y) enthaelt y, und der Schnitt der beiden ist leer. An dieser Stelle geht 'hausdorffsch' ein. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1134
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 09:08: |
|
Genau! Erklärt es das? |
Nero
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:01: |
|
Hallo Zaph
Das mit dem U(x,y) und V(x,y) habe ich jetzt so verstanden, dass U(x,v) praktisch eine Umgebung von x ist, die mit einer Umgebung von y, also V(x,y) geschnitten leer ist.
Diese existiert, da X Hausdorff-Raum ist.
Bitte korrigiere mich wenn ich es falsch verstanden habe.
Ich habe ein bischen Probleme damit, was dass y in U(x,y) bzw. das x in V(x,y) bedeutet, da beide Mengen die jeweiligen Elemente doch nicht enthalten, oder?
Danke Nero |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1137
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:26: |
|
U(x,y) und V(x,y) sollen nicht nur Umgebungen, sondern sogar offen sein.
Genau, die existieren, und es gilt, dass der Schnitt leer ist, da X hausdorfsch ist.
Natürlich hängen die offenen Umgebungen jeweils von x und y ab! Auch dann, wenn y nicht in U(x,y) enthalten ist.
Wenn U(x,y) nicht von y abhinge, hieße das ja, dass es eine Umgebung von x gibt, die kein y aus L enthält. Das stimmt zwar in deiner Aufgabe, aber das muss erst einmal gezeigt werden. So wird dann U(x) gebildet (s.o.).
Schreibe vielleicht besser Uy(x) und Vx(y) statt U(x,y) und V(x,y), vielleicht ist es dann klarer, was ich gemeint habe. |
Nero
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 18:14: |
|
Vielen Dank Zaph, du hast mir sehr weitergeholfen.
Nero |
|
