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serena
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 11:21: | 
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hallo
Bestimmen sie alle a element R, in denen folgenden Funktionen f : R --> R stetig sind:
a) f(x) := [x hoch 2 ];
b) f(x) := { x falls x element Q
0 falls x element R \ Q
wer weiß hier bescheid....serena |
Walter H. (mainziman)
Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 12:03: |
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Hi,
die erste ist für x >= 0 stetig
die zweite ist eine Abwandling der Dirichlet'schen Fkt.: f(x) = x * dirichlet(x) und die ist nirgends stetig; der Graph sind 2 sich schneidende Geraden;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 12:57: |
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interessiert mich auch, aber hab wenig Durchblick!
x² ist doch auf ganz R stetig, ist doch eine Polynomfkn, oder check ich grad garnichts? |
Walter H. (mainziman)
Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 13:11: |
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Stimmt Maxi, hab da irgend was anderes gelesen; natürlich x^2 is in ganz IR stetig;
Gruß,
Walter
p.s. die eckigen klammern sind da doch a bissi verwirrend;
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 23:34: |
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Hallo Walter,
mal ne Frage:
f(x) := { x falls x element Q
0 falls x element R\Q}
Die müsste doch an x=0 stetig sein, denn der Funktionswert jeder rationale Folge, die gegen
0 konvergiert, konvergiert auch gegen 0. Für alle anderen x ist die Funktion unstetig, denn:
Sei xo aus IR\Q und xo nicht 0. Dann existiert eine Folge rein rationaler Glieder (warum? jedes xo aus IR ist Häufungspunkt und da IR vollständig ist, kann man zwischen zwei (ungleichen)irrationalen Zahlen stets eine rationale finden, da Q dicht in IR!) , die gegen xo konvergiert. Der Abstand der Folgeglieder bleibt aber immer =|xo|, wird also nie kleiner als |xo|. Da |xo|>0 nach Voraussetzung => die Funktion kann nicht stetig sein.
Analog findet man für xo aus Q eine Folge aus Gliedern irrationaler Zahlen. Also kann die Funktion auch dort nicht stetig sein!
Oder?
Tschau
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 23:39: |
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Noch ne Frage:
>der Graph sind 2 sich schneidende Geraden ?
Wie kann eine Funktion denn 2 sich schneidende Geraden sein?
Irgendwie blick ich da nicht so ganz durch!
Meiner Meinung nach kann man die Funktion gar nicht zeichnen, sondern höchstens andeuten. Die x1-Achse mit unendlich vielen dicht beieinander liegenden Punkten markieren (wie immer das auch gehen soll) und dann typische Werte eintragen:
1/16; 2/16; 3/16; 4/16; 5/16; ...
Tschau
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 23:44: |
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Ich formulier es nochmal um:
< Der Abstand der Folgeglieder bleibt aber immer =|xo|, wird also nie kleiner als |xo|. Da |xo|>0 nach Voraussetzung => die Funktion kann nicht stetig sein >
Man findet eine Folge rationaler Glieder, die stets größer als xo sind. Somit ist der Abstand der Funktionswerte dieser Folgeglieder zu xo stets größer |xo|, usw...
Tschau
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 05:18: |
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Hallo Gast2,
diese Fkt. ist überhaupt nicht stetig, weil zwischen 2 rationalen Punkten gibts garantiert einen irrationalen Punkt;
das mit 2 schneidenden Geraden ist genau die Andeutung, weils ja eher a hartes unterfangen ist, nur rationale bzw. nur irrationale Stellen zu zeichnen;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 10:40: |
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Hallo Walter,
an der 0 müßte die Funktion dennoch stetig sein:
Es sei xn eine rationale Folge mit lim(xn)=0. Dann ist lim(f(xn))=0=f(0).
Für jede irrationale Folge yn mit lim(yn)=0 gilt ferner sowieso lim(f(yn))=0.
Für alle Folgen zn (es ist dann egal, ob ich eine Folge vermischter Glieder betrachte) mit lim(zn)=0 gilt dann lim(f(zn))=0=f(0) !
=> Stetigkeit an der Stelle 0!
Der Unterschied zur dirichlet-Funktion ist, dass bei der dirichlet Funktion für jede rationale Folge xn mit lim(xn)=0 dennoch lim(f(xn))=1!=0=f(0) gilt.
Oder mach ich einen logischen Fehler?
Tschau
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Mitglied
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Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 17:42: |
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Hallo Gast2,
Stell Dir mal folgende Zahl vor:
0,00000000 ... 000001 - 0,unendlich oft 0 und 1
ist die Zahl rational oder doch irrational?
und genau da ist eine eher schwammige Definition des ganzen:
zum einen unendlich viele Dezimalstellen die nicht periodisch sind => irrational
zum anderen durch einen ganzrationalen Bruch darstellbar => rational;
Du betrachtest da irgendwie einen Häufungspunkt bei 0 - komisch den hast ja auch bei den anderen ganzzahligen Stellen, oder sind im Intervall ]-0,25;0,25[ mehr Punkte als im Intervall ]0,75;1,25[?
Gruß,
Walter
p.s. des könnt jetzt fast in a philosophische Diskussion ausarten;
Mainzi Man,
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 19:00: |
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Hallo Walter,
also erstmal zur Konstruktion einer solchen Zahl:
0,000....01 wäre sonst [1/10]^(unendlich+1):
0,1=1/10
0,01=(1/10)²
0,001=(1/10)³
.
.
.
0,00...01=(1/10)^n
(die 1 steht an der n-ten Stelle)
Also müßte deine Zahl (1/10)^(oo+1) sein. Damit aber wiederum lim(1/10)^(n+1) bei n->oo und damit 0!
Es gibt übrigens einen Beweis dazu, dass Stetigkeit äquivalent ist zu:
Für alle Folgen xn mit lim(xn)=xo gilt:
lim(f(xn))=f(xo)
Aber wenn ich dich richtig verstehe, zweifelst du dies ja gar nicht an, sondern eher die Übertragung des Satzes auf rationale Zahlen, oder?
Kennst du die Seite von Todoroff? Deine Aussage erinnert mich irgendwie an die Aussagen von Todoroff.
Denn du sagst, egal wie Nahe eine rationale Zahl an die Null kommt, sie bleibt immer größer. Aber das zweifelt ja auch niemand an. Es geht um den GRENZWERT, und wenn du den GRENZWERT der Folge (1/n) betrachtest, ist dieser auch NULL! UND daher ist der Grenzwert des Funktionswertes auch NULL!
Und dies ist auch kein Widerspruch nach der mathematischen Definition des Grenzwertes!
Zur Philosophie und zur Rechtfertigung deiner Argumente:
http://home.t-online.de/home/todoroff/
Diese Anschauung vertrete ich jedoch NICHT! Und daher zweifle ich sie an. Aber bei wievielen Mathematikern wurde erst nach ihrem Tod festgestellt, dass sie Recht hatten. Ich sage nur Pythagoräer und irrationale Zahlen!
Aber trotzdem:
Wo besteht das Problem? Selbst bei deiner Anschauung der rationalen Zahlen ist der Grenzwert 0, und damit auch die der Funktionswerte!
Tschau
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 20:04: |
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Aber eins ist dennoch komisch:
Wenn du es doch als 2 sich schneidende Geraden betrachtest (obwohl das "irrational" ist, zumindest für mich), so gibt es nur folgende Ansicht:
Die 0 aus R ist eine andere als die aus Q! Damit wäre Q aber eine Teilmenge aus R, aber man müßte Unterscheiden zwischen Rechnungen in Q und in R. Wäre dies nicht so, so dürften sich die "Geraden des Graphen" nicht schneiden.
Dann und nur dann, wenn die Graphen sich schneiden, kann man die 0 aus R Gleichsetzen mit der aus Q.
Und wenn man sie Gleichsetzen darf, so muß die Funktion stetig an 0 sein.
Hmmm. Philosophie war noch nie meine Stärke. Hab ich Recht?
Tschau
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 20:24: |
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Hallo Gast2,
die geraden schneiden auch nicht wirklich, aber die zeichnerische veranschaulichung zeigt es so;
=> zeichenungenauigkeit
todoroff sagt mir überhaupt nix,
mein Problem bei Deiner Argumentation ist die 0;
addiere zu meiner Zahl eine beliebige natürliche Zahl hinzu => damit weißt Du was ich meine;
da ist der Grenzwert genau die natürliche Zahl, aber sicher nicht 0, oder?
lt. Def. der rationalen Zahlen sind die bereits auf dem Zahlenstrahl dicht -> aus jeder rationalen Zahl mach ich einfach eine irrationale indem ich einfach z.B. die Dezimalstellen von Pi hintenanhänge
=> die Veranschaulichung kann nur durch 2 sich schneidenden Geraden dargestellt werden und stetig ist die sicher nicht;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 20:54: |
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Hallo Walter,
nach der Mehrheit der Mathematiker müßte ich, zumindest bei üblicher Betrachtungsweise, Recht haben ( ganz schön dreist von mir, oder?).
Dennoch:
Lies dir die Ausführungen dieses schon oben angegebenen Links einmal durch:
http://home.t-online.de/home/Todoroff/mathome.htm
Runterscrollen zu MATHEMATIK(313K) etc.
Dann kannst du dir seine "Theorie" durchlesen. Die vertritt eine ähnliche Ansicht wie du.
Nur das Problem ist tatsächlich, dass du wie Todoroff die 0 in R und die 0 in Q anders definiert (also 2 Unterscheidbare Objekte!).
Nach Todoroff (äquivalent zu deiner Aussage) ist die 0 in R die kleinste positive reelle Zahl, die auf die 0 aus N (bei ihm ist N=N* mit {0}; N*={1,2,3...}) folgt.
Nur:
Dann gibt es in R 2 voneinander verschiedene Nullen. Denn konsequenterweise müßte es (analog seiner Konstruktion) eine negative kleinste reelle Zahl geben. Damit hätten wir aber in R 2 voneinander verschiedene Nullen. Damit wäre R kein Körper mehr und die ganze bisherige Theorie über die reellen Zahlen wäre falsch. Oder eine negative Zahl müßte gleichzeitig positiv sein. Und dennoch von der 0 aus N verschieden. Komisch? Oder?
Tschau
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 21:15: |
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Hallo nochmal,
ich muß noch etwas ergänzen:
wenn du sagst:
Addiere zu der Folge eine nat. Zahl hinzu. Damit willst du Argumentieren, dass der Grenzwert der Folge eine nat. Zahl ist, also muß auch der Grenzwert der Funktion auch die natürliche Zahl sein.
Nein, denn es gibt ja eine irrationale Folge, die auch gegen eine natürliche Zahl konvergiert.
Allerdings ist der Funktionswert dieser irrationalen Folge wiederum 0, da f(irrationales Folgeglied)=0 für alle Folgeglieder.
Allerdings ist f(1)=1.
Somit ist die Funktion dann auch nicht steig an den natürlichen Zahlen.
Ich sehe da kein Problem.
Ich muß aber natürlich nicht Recht haben!
Tschau
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 23:19: |
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Hallo Gast2,
Ne, ich habe nicht 2 verschiedene 0.
Für mich ist 0 rational und die Menge der irrationalen Zahlen hat keine 0 als Element.
Betrachte den Fktsgraphen nur mal im Intervall
z.B. [1;2]
hier hast Du bereits unendlich viele Sprungstellen, warum?
Die rationalen Zahlen liegt dicht auf dem Zahlenstrahl und zwischen 2 rationalen Zahlen existiert mind. eine irrationale Zahl;
betrache mal folgendes
{ 1 falls x element Q
0 falls x element R \ Q }
=> der Graph sind 2 parallele Geraden mit jeweils unendlich viele Lücken und ebenso unendlich viele Sprungstellen (endliche, daher keien Pole);
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 01:07: |
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Hallo Walter,
das ist aber die Dirichlet-Funktion und diese ist ja anders als die obige Funktion, denn bei dieser konvergiert der Funktionswert bei einer rationalen Folge eben nicht gegen f(0)=0, sondern gegen 1!
Ich schau mal in meinen Übungen zur Analysis nach. Soweit ich das aber in Erinnerung habe, ist die Funktion an 0 stetig. Mit meiner erst gegeben Lösung (über die Folgen).
Zumindest wurde diese so von unserem Übungsleiter sowie unserem Prof. gelöst.
Tschau
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 01:22: |
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Als Anmerkung:
Es ist ein Unterschied für die Folgenbetrachtung (nicht bei der Dirichletfunktion, aber bei der obig definierten, als f(x)=x*dirichlet(x)), ob ich die Funktion im Intervall [1,2] betrachte oder im Intervall [0,1]. Im Intervall [1,2] können die Funktionswerte der Folgen rationaler Zahlen nur gegen Werte zwischen 1 und 2 (1,2 eingeschlossen) konvergieren (minimal gegen 1), aber niemals gegen 0=f(0), deswegen Unstetigkeit für alle x-Wertein dem Intervall [1,2].
Im Intervall [0,1] gibt es z.B. die rationale Folge xn:=1/n mit lim(f(xn))=lim(1/n)=0 (bei n->oo) und 0=f(0).
Irrationale Folgen haben für jedes Folgeglied sowieso den Funktionswert 0, also ist dies erst Recht der Grenzwert.
PS:
Vielleicht würde es uns beiden helfen, wenn sonst noch einer mitdiskutieren würde!
Tschau
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 08:36: |
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Hallo Gast2,
stimmt, das was ich zum Vergleich meinte is die dirichlet-Fkt.
unsere Fkt. kann aber aus einem Grund keine Stetigkeitsstelle bei 0 haben, weil 0 is zwar Häufungspunkt, weil da zum einen f(x) = x und zum anderen f(x) = 0 sehr viele Fkt. haben, aber keine gemeinsamen; und weil da ja auch sehr viele Sprünge sind:
auch nahe bei 0 gilt:
zwischen 2 rationalen Zahlen is wieder a rationale und zwischen 2 rationalen Zahlen existieren unendlich viele irrationale;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 09:29: |
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Hallo Walter,
also zweifelst du doch den Satz an:
Stetigkeit ist äquivalent zu:
Für alle Folgen xn mit lim(xn)=xo gilt:
lim(f(xn))=f(xo)
Der ist aber in der Analysis bewiesen.
Ich zweifle deine Aussage über die Sprungstellen ja gar nicht an, aber ich beweise es dir mal mit der Definition von Stetigkeit:
Wir müssen zeigen:
Für alle epsilon>0 existiert ein delta(epsilon)>0, so dass für x mit d(x,0)<epsilon gilt:
e(f(x),f(0)=0)<epsilon.
Es sei epsilon>0 gegeben. Mit delta(epsilon):=epsilon gilt für x mit d(x,0)<epsilon:
e(f(x),0)<epsilon.
Denn ist x irrational, so ist e(f(x),0)=0 und damit erst recht kleiner als alle epsilon>0. Ist x aus Q, so gilt die Behauptung auch; ansonsten müsste es immer Brüche zwischen 0 und einer festen rationalen Zahl geben, so dass dieser Bruch größer als die gegebene rationale Zahl wäre. Dies widerspricht aber der Tatsache, dass IR ein geordneter Körper ist.
Somit muß zwingend diese Funktion an 0 stetig sein (analog kann man es für x<0 betrachten!). Oder willst du die Ordnung von IR in Frage stellen?
Aus Sprungstellen folgt nicht zwangsläufig Unstetigkeit, wie diese Funktion (x*dirichlet(x)) zeigt!
[Die Aussage, die man in der Schule macht:
Eine Funktion ist stetig, wenn man eine Linie, ohne den Stift abzusetzen, ziehen kann um die Funktion zu zeichnen, ist daher sehr dürftig.
Denn Folgen sind ja auch stetige Funktionen.
Aber um die zu zeichnen, muß man immer den Stift absetzen!]
Etwas anderes ist es, wenn der Abstand der Funktionswerte der Sprungstellen immer größer als eine vorgegebene Zahl bleibt. Dies ist aber hier nicht der Fall.
Wenn du diesen Beweis nun nicht glaubst, dann frage ich mich, welche Definition von Stetigkeit du benutzt (Sorry wenn das rechthaberich klingt!).
Die in der Analysis benutzte lautet (ungefähr):
Eine Funktion ist stetig in einem Punkte xo, wenn für alle epsilon>0 ein delta(epsilon) existiert, so dass für alle d(x,xo)<delta(epsilon) gilt:
e(f(x),f(xo))<epsilon
Mithilfe dieser Definition habe ich die Stetigkeit oben bewiesen!
Wie gesagt, wäre die Funktion an 0 unstetig, könnte IR nicht geordnet sein!!!
Tschau
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 11:47: |
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Hallo Gast2,
ich zweifle nicht den Satz an, hab aber ein Problem mit der Behauptung bei 0 ist die Fkt. stetig -> bis wohin ist die Fkt. stetig?
Ein Intervall wie z.B. ]-10^(-10);10^(-10)[ wäre etwas verständlicher; für mich heißt stetig -> keine Lücke und kein Pol bzw keine Sprungstelle und genau die hab ich aber;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 12:53: |
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Hallo Walter,
ich habe die Stetigkeit an 0 durch die Definition der Stetigkeit nachgewiesen.
Das ist ein mathematischer Weg.
Wenn du sagst, eine Funktion mit Sprungstellen kann nicht stetig sein, benutzt du eine andere Definition der Stetigkeit.
Dann wäre eine Folge auch nicht stetig.
Stetig heißt eben NICHT:
keine Lücke bzw. keine Sprungstelle!
Was stetig heißt, kannst du in jedem (besseren) Mathematikbuch nachlesen. In irgendeinem Beitrag hab ich gelesen, dass du den Bronstein besitzt. Lies dir die dortige Definition von Stetigkeit einmal durch.
Funktionen mit Sprungstellen, die nicht so komplex wie die hiesige Funktion sind, können auch stetig sein.
Ich mache keine Aussage, bis wohin die Funktion stetig ist, dass brauch ich nach der ´allgemeinen mathematischen Definition´ der Stetigkeit auch gar nicht.
Es genügt, zu zeigen:
Für alle epsilon>0 existiert ein delta(epsilon)>0, so dass für x mit d(x,0)<epsilon gilt:
e(f(x),f(0)=0)<epsilon.
Habe ich getan!!!
Um deine Auffassung zu widerlegen:
Betrachte etwa Folgen, also Funktionen
f: N -> IR. Die sind in jedem Punkt stetig.
Ebenso ist eine Funktion an isolierten Stellen stetig. Das findest du auch in sehr vielen Büchern.
Deine Definition ist ein Versuch, die Stetigkeit auf die Geometrie der Funktion zu übertragen. Du benutzt im Prinzip die "schwammige" Schuldefinition (absetzen des Stiftes!). [Das ist übrigens nix mathematisches, weil bei dieser Funktion eben diese Vorstellung zum scheitern verurteilt ist!]
Dies ist aber leider nicht immer war.
Die Umkehrung müßte gelten (kann man den Graph einer Funktion zeichnen, ohne den Stift abzusetzen => Stetigkeit), aber das deinige gilt eben leider nicht.
Das zeigt ja eben gerade z. B. genau diese Funktion.
Ich habe nun auf zweierlei Weise mathematisch bewiesen, dass diese Funktion "aufgrund der Definition von Stetigkeit" an der Stelle x=0 stetig sein muß.
Um mir ganz sicher zu sein, werde ich die Lösung dieser Aufgabe noch einmal heraussuchen (denn die wurde meines Wissens nach bei uns auf der Uni behandelt).
Ich hoffe, dass du mir nicht böse bist, wenn ich folgendes sage:
Du benutzt ´nicht´ die ´allgemeine mathematische Definition´ von Stetigkeit, sondern eine Interpretation, die ferner widerlegbar ist, da sie (im Allgemeinen) falsch ist.
Wenn man die Stetigkeit so wie von dir gesagt auffassen würde, müßte man zwangsläufig Stetigkeit mathematisch neu definieren. Denn aus Stetigkeit folgt eben ´nicht´ zeichnen ohne abzusetzen. Da brauch man gewisse Voraussetzungen, die hier nicht gegeben sein können ( eine andere Frage ist, welche man braucht. Vielleicht macht sich ja mal ein kluger Kopf Gedanken dazu?).
Sorry, aber ich sage immer, was ich denke. Ich hoffe, dass ich dich nicht irgendwie beleidigt habe.
Gruß
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 13:09: |
|
Hallo Gast2,
ich kenn die Def. von Stetigkeit, die Du anwendest
is aber bei dieser Fkt. falsch;
warum:
ich behaupte einfach: 0 +/- epsilon is irrational
=> lim [ x-> 0 + epsilon ] f(x) <> lim [ x-> 0 ] f(x) <> lim [ x-> 0 - epsilon ] f(x)
=> unstetig
und genau das wird bei dieser Fkt. a philosoph. Diskussion;
Die Def. der Stetigkeit lt. Bronstein ist ident mit meiner Aussage: zeichnen ohne Absetzen;
an Schüler sagt man des einfach und an Studenten kompliziert, heißt aber des selbe;
weil nach Deinem folgt die Fkt. ist an jeder Stelle stetig, weil ich immer solche epsilon Umgebungen finde;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 13:22: |
|
Wie kann denn eine Definition von Stetigkeit falsch sein?
Gibt es da verschiedene Auffassungsmöglichkeiten?
Defintion bleibt Definiton.
Hast aber Recht. Der Bronstein sagt es tatsächlich einmal so und einmal anders. Komisch!
TSchau
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 13:48: |
|
Hallo Gast2,
Nein, nicht die Def. is falsch, die Anwendung bei dieser Fkt. ist falsch - da beißt Dir damit die Zähne aus;
wenn ich im Bronstein weiterlese steht da noch was:
unsere Fkt.
f(x) := { x falls x element Q
0 falls x element R \ Q
die Dirichlet-Fkt.
g(x) := { 1 falls x element Q
0 falls x element R \ Q
eine lin. Fkt.
h(x) := x
g(x) ist nicht stetig
h(x) ist stetig
=> f(x) = g(x) * h(x) ist auch nicht stetig;
logisch warum?
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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|
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 13:58: |
|
Hallo Walter,
also in meinen Übungsaufgaben habe ich die Aufgabe leider nicht gefunden, ich wußte aber, dass ich sie irgendwo her kenne:
Harro Heuser,
Lehrbuch der Analysis
Teil 1
14. Auflage
S.219 Aufgabe 4
Sei f(x) wie oben definiert.
Der Leser soll beweisen:
Dann ist f genau in 0 stetig.
Stetig mal unstetig=unstetig?
stetig mal stetig = stetig kenne ich. Deinen Satz nicht!
Gruß
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 54
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 14:13: |
|
Hallo Gast2,
f(x) = stetig
g(x) = stetig
h(x) = f(x) * g(x)
=> h(x) = stetig
damit h(x) stetig ist, ist es notwendig, daß auch f(x) und g(x) stetig sind;
und der umkehrschluß bedeutet automatisch, daß
das produkt einer stetigen Fkt. mit einer unstetigen Fkt. nicht stetig sein kann;
Gruß,
Walter
p.s. jetzt wirds echt philosophisch
Mainzi Man,
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Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 55
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 14:19: |
|
Nachtrag:
würde auch die Umkehrung gelten:
h(x) = f(x) * g(x)
h(x) = stetig (unsere Fkt.)
=> f(x) und g(x) sind stetig,
dann wäre auch die Dirichlet-Fkt. stetig und das ist eindeutig falsch;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 14:40: |
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Damit h(x) stetig ist, ist es hinreichend aber nicht notwendig, daß auch f(x) und g(x) stetig sind;
Sorry, das ist ein Scheinbeweis, und das dieser falsch ist, ist offensichtlich.
Denn aus A=>B <=> nicht B => nicht A, und nicht nicht A => nicht B
Gruß
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 14:51: |
|
Ich zeige dir den Trugschluß an einem Beispiel:
gerade*gerade=gerade
gerade*ungerade=gerade
Sind zwei Geraden Zahlen gerade, so ist das Produkt auch Gerade. Ist eine Zahl Gerade und läßt sie sich als Produkt darstellen, so würdest du folgern, dass beide Faktoren gerade sein müssen. ES GEHT ALLERDINGS ABER AUCH gerade*ungerade.
Die Umkehrung eines Satzes muß immer bewiesen werden.
Aus stetig mal stetig=>stetig kann man nur folgern, wenn eine Funktion unstetig ist und sie sich als Produkt zweier Funktionen darstellen läßt, dann können beide "Faktorfunktionen" nicht gleichzeitig stetig sein!
MEHR NICHT!!!
Logisch? Oder?
Gruß
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 15:05: |
|
Hallo Gast2,
hinreichend mag sein;
hast a supergutes Beispiel:
f(x) = nicht stetig
g(x) = stetig
h(x) = f(x) * g(x)
wo auch h(x) stetig ist;
aber bitte keines dieser art, und wo es sofort offensichtlich ist;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 15:10: |
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HAb ich, Walter.
f(x)=sign(x) (Vorzeichen von x)
g(x)=|x|
f(x) ist unstetig an 0!
(denn f(x)=-1, falls x<0 und f(x)=1, falls x>0 und f(0)=0)
g(x) ist stetig (ich denke, dass glaubst du mir)!
Also unstetig mal stetig.
Was ist mit z(x):=f(x)*g(x)
Es ist f(x)*g(x)=x (-|x|=x, falls x<0 und |x|=x, falls x>0. 0=0*|0|)
Und die Funktion t(x)=x ist stetig (ich denke, dass glaubst du mir auch!)
Gruß
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 15:17: |
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Hallo Gast2,
Äpfel mit Birnen zu vergleichen is ja nit mein Stil:
z.B.:
f(x) ist an der Stelle 2 unstetig
g(x) ist an der Stelle 2 stetig
wie soll f(x) * g(x) bzw. f(x) + g(x) an der Stelle 2 stetig sein?
gerade * irgendwas natürliches heißt immer gerade =>
aus dem grund gilt: a produkt is nur dann gerade wenn mind. einer der Fakt. gerade is;
kannst nicht auf das mit der Stetigkeit umlegen, sorry;
und die umkehrung: ist ein Produkt gerade ist mind. einer der Faktoren gerade;
weil unstetig heißt auch, dass der Fkt.-wert nicht ermittelbar ist;
Gruß,
Walter
p.s. mal a Beispiel was mir auf die schnelle eingefallen is:
f(x) = x + 1
g(x) = (x^2 - 1) / (x + 1)
g(x) hat an der stelle -1 eine Def. Lücke
f(x) * g(x) hat die gleiche Def. Menge
weil aus * => a Schnittmenge und da is nun mal -1 draußen, auch wenn f(x) an der Stelle 1 def. ist;
für f(x) + g(x) wäre es offensichtlicher dass die Def. Menge a Schnittmenge ist;
logisch?
auch das steht in meinem Bronstein zum Thema stetige Fktnen.
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 15:22: |
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Hallo Gast2,
g(x) = |x|
hat an der Stelle 0 a Knickstelle, die nicht
differenzierbar ist;
aus stetig folgt nicht differenzierbar
jetzt wirds gemein;
Für * ist Dein Beispiel hervorragend, aber leider steht in mein Bronstein auch was von +;
und da versagt des; sorry;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 15:32: |
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Hallo Walter,
ich verstehe deine Antwort nicht!
Du benutzt bei deiner Argumentation * und nicht + !
stetig*unstetig=>stetig geht! (siehe Beispiel)
differenzierbar => stetig, aber stetig =>nicht diff´bar!
Stetig+unstetig=unstetig mag sein (weiß ich jetzt nicht!), aber das passt hier NICHT!
Wo ist das Problem?
Sorry, aber wenn du sagst, die Funktion (ganz oben, x*dirichlet(x)) sei an 0 unstetig, widersprichst du
1. Unserem Professor!
2. Unserem Übungsleiter!
3. Herrn Haro Heuser, der ebenfalls Professor der
Mathematik (war?) ist und zwei dicke Bände über die Analysis herausgebracht hat!
4. Mir als Mathematik-Student!
[Harro Heuser,
Lehrbuch der Analysis
Teil 1 und 2
]
Vielleicht kann uns H.R.Moser megamath oder Zaph oder sonstwer mal auf die Sprünge helfen.
Ich bin von meinen Ausführungen jedoch fest überzeugt!!!
Gruß
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 15:38: |
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Nachtrag:
Zitat Bronstein (ausgabe von Teubner aus 1996)
Sind die Fkt. f, g: M teilm. von IR -> IR
im Punkt a stetig, dann gilt:
(1) die Summe f+g und das Produkt f*g sind im Punkt a stetig,
(2) der Quotient f/g ist im Punkt a stetig,
wenn g(a) <> 0
Hast dafür auch a Beispiel, wo f(x) stetig is, g(x) unstetig is aber f(x)+g(x), f(x)*g(x) und f(x)/g(x) stetig sind?
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 15:39: |
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>Weil unstetig heißt auch, dass der Fkt.-wert nicht ermittelbar ist;
f(x)=sign(x) ist an 0 unstetig und f(0)=0.
Bist du dir da ganz sicher? Das stimmt so nicht!!!
Du sagst, eine Funktion, die stetig ist, kann nur dann stetig sein, wenn die "Faktorzerlegungsfunktionen" stetig sind.
Gegenbeispiel hab ich dir gegeben.
Vielleicht ließe sich eine Aussage treffen:
f stetig und f=g*h, dann ist mindestens einer der Faktorfunktionen stetig.
Analog den Zahlen!
Keine Ahnung. Vielleicht heißt ja auch:
unstetig*unstetig=unstetig,
aber stetig*unstetig=unstetig habe ich WIDERLEGT!
Gruß
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 15:44: |
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Hallo Gast2,
Tja, da scheiden sich die Gemüter,
ich bin davon überzeugt, daß die Fkt. unstetig ist, auch an der Stelle 0;
Kannst Du die gegeben Fkt. als Produkt 2er stetiger Fkt. zerlegen oder als Summe, dann ist es klar, dass sie stetig, so aber überhaupt nicht, siehe Zitat Bronstein;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 15:45: |
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Hallo Walter,
Sorry, aber ehrlich gesagt, habe ich nun auch keine Lust, mir hundertausend Beispiele auszudenken (und vorher zu überlegen, wann diese überhaupt konstruierbar sind).
Für die Aussagen von Bronstein hast du als VORAUSSETZUNG:
f,g STETIG.
Warum soll ich mir nun unter anderen Voraussetzungen:
f stetig, g unstetig und
f*g stetig, f+g stetig ausdenken?
Das widerlegt nicht den Satz, sondern man hat NUR ANDERE VORAUSSETZUNGEN und kann diesen Satz nicht mehr anwenden!!!
ES STIMMT:
SIND f,g stetig (Voraussetzung) => f*g stetig. Es stimmt aber nicht:
f*g stetig => f stetig und g stetig.
SIEHE MEIN BEISPIEL!
Gruß
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 15:48: |
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Man kann die STETIGKEIT zeigen mit der DEFINITION von der STETIGKEIT!
Habe ich (auf 2 Wegen!)
Fragen wir mal die Experten:
Zaph, Moser, ...
kann uns einer auf die Sprünge helfen?
Gruß
Gast2 |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 15:57: |
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Hallo Gast2,
Etwas gewagt ist die Aussage schon:
"ist die Fkt. stetig ist mind. einer der Faktorfkt. stetig"
es könnte einem eine fkt. einfallen die sich aus unstetigen Faktorfkt. zusammensetzt aber doch stetig ist;
vielleicht sowas wie:
f(x) = sgn(x) * cot(x)
lim [ x->0 ] f(x) = 1 würd ich mal sagen;
Ich bin der Meinung die gegebene Fkt. ist an der Stelle 0 unstetig.
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1136
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:14: |
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Hallo, ich fühle mich geehrt :-)
Habe aber keine Lust, mir jetzt alles durchzulesen. Gast2, kannst du kurz darlegen, wo eure Meinungsverschiedenheit liegt, und was du mich fragen willst? |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 63
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:17: |
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Eines ist aber auf jedem Fall klar,
ist die gegebene Fkt stetig (ich glaubs nicht)
ist auch die folgende Fkt. an der Stelle 0 und auch an der Stelle 1 stetig:
f(x) { x^m für x element IR,
x^n für x element IR \ IQ }
mit n, m element IN \ {0} und verschieden;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:23: |
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kleine Fehlerkorrektur,
f(x) := { x^m für x element IQ,
x^n für x element IR \ IQ }
mit n, m element IN \ {0} und verschieden;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:26: |
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Hallo Walter,
Sorry, aber um diese Funktion mach ich mir momentan keine Gedanken mehr. Bin schon etwas verwirrt zur Zeit.
Fragen wir mal Zaph:
f(x) := { x falls x element Q
0 falls x element R\Q
Ich behaupte, diese Funktion ist an 0 stetig. Walter behauptet das Gegenteil.
Einig sind wir uns, dass sie an allen Stellen außer 0 unstetig sein muß.
Zu der Stelle 0:
Ich habe folgende Beweise gebracht:
1.
Die müsste doch an x=0 stetig sein, denn der Funktionswert jeder rationale Folge, die gegen
0 konvergiert, konvergiert auch gegen 0 (jeder irrationalen erst recht, und damit auch die einer Folge mit gemischten Gliedern, wenn die Folge gegen 0 konvergiert!)
2.
Es sei epsilon>0 gegeben. Mit delta(epsilon):=epsilon gilt für x mit d(x,0)<epsilon:
e(f(x),0)<epsilon.
Denn ist x irrational, so ist e(f(x),0)=0 und damit erst recht kleiner als alle epsilon>0. Ist x aus Q, so gilt die Behauptung auch; ansonsten müsste es immer Brüche zwischen 0 und einer festen rationalen Zahl geben, so dass dieser Bruch größer als die gegebene rationale Zahl wäre. Dies widerspricht aber der Tatsache, dass IR geordnet ist.
Somit muß zwingend diese Funktion an 0 stetig sein (analog kann man es für x<0 betrachten!). Andernfalls wird die Ordnung von IR in Frage gestellt?
Bin gespannt.
@Walter:
So ganz ist mir dein Problem immer noch nicht klar, außer zeichnerich (aber was ist unendlich klein?). Vielleicht kannst du Zaph deine Ausführungen auch nochmal kurz und bündig erklären?
Gruß
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:28: |
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@Zaph:
lies bitte ab meinem letzten Beitrag!
Wollte eigentlich schon direkt @Zaph schreiben, wollte aber Walter auch nochmal ansprechen!
Gruß
Gast2 |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1139
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:50: |
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Die Funktion
f(x) :=
x falls x aus Q
0 falls x aus R\Q
ist allerdings in x=0, und nur dort, stetig.
Ebenso ist
f(x) =
x^m für x aus R,
x^n für x aus R\Q
in 0 und 1 stetig. |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 65
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:51: |
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Hi,
mein Problem bei dem Ganzen:
nach Def. sind die rationalen Zahlen dicht =>
ich finde zwischen 2 rationalen Zahlen eine weitere; aber auch die irrationalen Zahlen sind dicht. | IQ | = | IR \ IQ |, hab ich mal in der Schule gelernt.
und genau da ist es etwas schwammig, weil für mich in dem Fall eine Stetigkeit nur dann sein kann, wenn, es zwischen 2 rationalen Zahlen keine irrationale oder zwischen 2 irrationalen keine rationale Zahl gibt;
Mir ist schon klar, daß Dank der Zeichenungenauigkeit ich eine Gerade f(x)=0 und eine Gerade f(x):=x habe, welche durch die Zeichenungenauigkeit sich im Koord.ursprung schneiden, aber nur zeichnerisch, tatsächlich tun sie es ja nicht;
Eine Stetigkeit an der Stelle 0 würde für mich bedeuten, daß (0-epsilon), (0+epsilon) rational sind, also element IQ; nur wer sagt, daß epsilon rational ist? und auch, daß alle Werte im Intervall [-epsilon;+epsilon] rational sind, andernfalls wären es Sprungstellen, und somit ja nicht stetig;
Gruß,
Walter
p.s. irgendwie verwirrt mich das da jetzt komplett
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
und manchmal auch verwirrt *ggg*
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:53: |
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Hallo Zaph,
Danke für die Bestätigung! Also stimmen meine Ausführungen! Wenn sie auch nicht ganz korrekt formuliert sind, ich hoffe, man kann dennoch verstehen, was gemeint ist.
Ob wir Walter überzeugt bekommen?
Gruß
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 17:10: |
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Hallo Walter:
Vergiss das mal mit den Sprungstellen.
Zeichne mal:
f: IN -> IR
f(x):=2x
Sprungstellen hat die zur Genüge!
Aber die ist in jedem Punkt x aus IN stetig, da isolierte Punkte.
Gruß
Gast2 |
Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1140
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 17:48: |
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Hallo Walter, glaub bitte nicht alles, was du in der Schule erzählt bekommen hast. Z. B. ist schon mal nicht |Q| = |R\Q|. Das tut in diesem Falle aber überhaupt nichts zur Sache. Den Begriff "Stetigkeit" mit nicht vorhandenen "Sprungstellen" zu erklären ist leider wenig mathematisch, für den schulischen Grundkursbereich bestenfalls ausreichend. Du hast ja Recht: die Funktion hat in jeder Umgebung von 0 unendlich viele "Sprungstellen". Nach der mathematischen Definition der Stetigkeit ist sie trotz alledem in 0 stetig.
An einer anderen Stelle am Board geht es zurzeit sogar um eine Funktion, die in allen rationalen Punkten unstetig, in allen irrationalen Punkten aber stetig ist. So ein Ungetüm widerspricht vielleicht zunächst der Intuition, lässt sich aber mathematisch beweisen ... |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1141
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 17:55: |
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@Serena, falls du diese längliche Diskussion noch verfolgst (und natürlich auch @Gast2 und @Walter):
Bei der anderen Funktion sollen die eckigen Klammern vermutlich Gaußklammern sein.
f(x) := [x hoch 2]
Diese Funktion ist in allen Punkten x = Wurzel(n) und x = -Wurzel(n) (n = 1,2,...) unstetig. |
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