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adriana_ (adriana_)
Mitglied
Benutzername: adriana_
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 10:23: | 
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Hi!
Ich habe hier einen Beweis zu führen und bin schon weit ... brauche aber mal jemanden der drüber schaut.
!) Sei A eine ganzzahlige Matrix mit rang r. Zeige, daß der rang einer Matrix sich nicht ändert, wenn die Einträge der Matrix modulo einer Primzahl p genommen werden.
Eigentlich dachte ich mir das so ... wenn ich eine beliebige ganzzahlige Matrix habe, dann ist es ja eigentlich irrelevant, ob ich alle Einträge zuerst modulo p nehme oder die Matrix erst auf Zeilenstufenform bringe und dann die Einträge modulo p nehme, denn der Zeilenraum ändert sich ja nicht bei elemntarer Zeilenverschiebung. Somit hätte ich in der Matrix r führende Einsen und da 1 modulo p immer 1 bleibt ist der Rang der Matrix A' über dem neuen Körper noch immer r!
Ist das richtig?
Danke für euere Hilfe! |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 478
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 23:23: |
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Irgendetwas ist da faul...
Wenn ich A=(p p) nehme, dann ist der Rang 1, wenn ich die Einträge aber modulo p nehme ist er 0, also ist die Aussage, daß er sich nicht ändert, eindeutig falsch.
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adriana_ (adriana_)
Mitglied
Benutzername: adriana_
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 22:32: |
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Hallo Ingo.
Ich habe mir das nochmal angeschaut und die Aussage ist eigentlich:
Es ist zu zeigen, dass es zu jeder ganzzahligen Matrix A mit rang(A)=r einen geigenten Primzahlkörper gibt, so dass A über diesem neuen Körper ebenfalls Rang r hat.
Ich habe das ein wenig mit tüfteln probiert und es scheint zu stimmen, denn man findet schon immer einen Körper, aber wie beweise ich das allgemein?
Danke für eure Geduld!
Ciao
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Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 482
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 21:33: |
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Also ein konkreter Beweis fällt mir auf die Schnelle auch nicht ein, aber eine verbale Begründung.
Da der Rang(A)=r läßt sich A mittels elementarer Zeilen und Spaltenumformungen auf Diagonalgestalt mit r Elementen ungleich 0 bringen. Bei den Umformungen handelt es sich um Multiplikationen und Additionen von Zeilen und Spalten. Nimmt man nun das größte aller dabei auftretenden Produkte und wählt p größer als dieses Produkt, so sind alle Umformungen mit genau demgleichen Ergebnis durchführbar. Da die Menge der Primzahlen unbeschränkt ist, gibt es auch immer ein p, daß die Bedingung erfüllt.
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