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Hilfe, verzweifele an der Normalform

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Lucy
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 07:23:   Beitrag drucken

Hallo
Kann mir jemand bei folgender Matrizenrechnung helfen???
Ich soll mit Hilfe der Elementarteiler die Jordansche Normalform bestimmen.
Wie man Elementarteiler ausrechnet weiß ich wohl, doch das ich nun Polynome als Elementarteiler habe, macht mir einige Schwierigkeiten.
Die Matrix lautet:
2 2 0 -3
1 1 0 -1
1 2 -1 -1
1 2 0 -2

Ich weiß, dass die Lösung so aussieht:
-1 0 0 0
0 –1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1
Doch wie komme ich darauf?
Bitte kann mir jemand helfen? Ich habe die Matrix schon duzend mal ausgerechnet und bekomme immer eine andere Lösung, jedoch nie die angegebene.
Ich bin für jede Hilfe dankbar
Lucy
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poser
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 02:12:   Beitrag drucken

aus der lösung kann man ja erkennen, dass die eigenwerte für die matrix A ( deine matrix von oben ) l1=-1 und l2=1 sind .

das heist ja, dass das minimalpolynom ungefähr so aussieht.

m(A)=(x+1)^k*(x-1)^n
der trick ist nun, dass k und n jeweils die grösste dimension des eigenraumes E(li,k bzw n )
Man kann also aus den Jordanblöcken ablesen, welche maximale dimension ( multiplizität oder vielfachheit k bzw n ) der jeweilige term in m(A) hat.

Der grösste Jordanblock zu l1=-1 hat die dim k=1
der grösste Jordanblock zu l2= 1 hat die dim n=2

=> m(A)=(x+1)*(x-1)^2

weiterhin wichtig ist, dass der eigenraum zu einem Eigenwert li mit der Multiplizität k bzw n
(in Zukunft E(li,k oder n ) genannt )
definiert ist als :

E(l1,k):= Kern{(A-l1*Identität)^k}

also für l1=-1 :

E(-1,1)=Kern{(A+Id)}

kern einer menge sind alle die elemente für die gilt, dass C*x=0 also alle die elemente , die auf null abgebildet werden.


A+Id=[3,2,0,-3;1,2,0,-1;1,2,0,-1;1,2,0,-1]
geht man von der einheitsbasis aus, so sieht man , dass e3=[0,0,1,0] auf null abgebildet wird und auch e1+e4=[1,0,0,0]+[0,0,0,1]=[1,0,0,1]

somit haben wir schon zwei der neuen basisvektoren gefunden.

für E(1,2) gilt:
E(1,2)=Kern{(A-1*Id)^2}
A-Id=[1,2,0,-3;1,0,0,-1;1,2,-2,-1;1,2,0,-2]
durch gauss-algorithmus oder elementare zeilen oder spaltenumformungen erhält man v3=[1,0,0,0]als dritten vektor für die basiswechselmatrix.
da (A-Id)²(v3)=0 und v3 so gewählt ist , dass A(v3)ungleich 0 ist, ist v4=(A-Id)(v3) der vierte vektor.
so ist also
v1=[0,0,1,0] v2=[1,0,0,1] v3=[1,0,0,0] v4=[1,1,1,1]


Nun muss man bedenken, dass die Jordannormalform konjugiert zu A ist, dass heisst,

B^(-1)AB=J Basiswechsel

B^(-1) = [v1,v2,v3,v4] (hier ist die reihenfolge der die Eigenräume erzeugenden vektoren vi wichtig, da diese verantwortlich für die position des eigenwertes in der jordanmatrix sind und bei v3,v4 verantwortlich für die 1unter bzw über der diagonalen. vertauscht man v3,v4 miteinander, so ändert sich J nur insofern, dass die 1 unter der diagonalen dann über der diagonalen steht.)

invertieren von B^(-1) liefert B

B=[0,-1,1,0;0,-1,0,1;1,0,0,-1;0,1,0,0]
B^(-1)=[0,0,1,0;1,0,0,1;1,0,0,0;1,1,1,1]
A=[2,2,0,-3;1,1,0,-1;1,2,-1,-1;1,2,0,-2]

=> B^(-1)AB=J

zur erklärung der matrizen: die zeilen sind durch ; getrennt.


ich hoffe dies hülft ein wenig

frag nochmal nach, wenn was unklar ist.

bei mir kommt jedenfalls die Jordanmatrix raus.

BÄN
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Nina
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 10:26:   Beitrag drucken

Hallo !
Das war ja gut erklärt! Kannst du vielleicht erklären, wie man die rationale Normalform bestimmt??? Wäre lieb!
Gruß, Nina
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poser
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 11:00:   Beitrag drucken

was ist die rationale normalform???

Ich kenne den begriff leider nicht. kann also nen moment dauern, denn ich muss mich da erst anlesen oder du schreibst mir mal kurz , wie ihr das definiert habt.

gruss BÄN
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Nina
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 15:41:   Beitrag drucken

Hallo BÄN-

Ähm, ich habe in meinen Aufzeichnungen eine Matrix stehen, die so aussieht:

Auf der Diagonalen stehen Matrizen Ai.

dabei sieht jedes Ai so aus:

in der letzten Spalte stehen die Koeffizienten des Minimalpolynoms, auf der Diagonalen die Nullen, darunter eine Daigonale mit Einsen.

Ist das schon die rationale (oder auch allgemeine) Normalform??? Ich weiß es nicht...
Vielen Dank aber für deine Mühe!!!!

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