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Gertrude
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 21:35: | 
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Hallo hier ist nochmal Gertrude. Ich soll zeigen
(a)M1~M2 und N1~N2 =>M1xN1~M2xN2
(b)M~N=>P(M)~P(N)
Bei den Mengen handelt es sich um beliebige Menge |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. November, 2000 - 21:48: |
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Hi Gertrude,
wenn Mengen gleichmächtig sind, dann gibt es eine Bijektion zwischen ihnen.
Aus den Voraussetzungen muß man für die Behauptung jeweils eine Bijektion angeben.
Bei b)
Ist f:M->N eine Bijektion, dann definiere ich g:P(M)->P(N) mit g(P) = {f(x) | xeP } für alle Teilmengen P von M. Das ist eine Bijektion (zu zeigen). Folglich ist P(M)~P(N)
Gruß
Matroid |
Gertrude
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 09:04: |
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Hallo Matroid(was soll eigentlich dieser Name bedeuten,naja ist auch nicht so wichtig),kannst Du mir das mit der Definition für alle Teilmengen P von M nochmal erklären,ich steig da nicht richtig hinter. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 17:44: |
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Ein Beispiel:
M = { 1, 2}
N = { A, B}
also M~N
Eine mögliche Bijektion f:M->N ist
f(1)=A und f(2)=B
Die Menge aller Teilmengen von M ist
P(M) = { {}, {1}, {2}, {1,2} }
und
P(N) = { {}, {A}, {B}, {A,B} }
Für jede Teilmenge von M, das ist: jedes Element von P(M) ist die Menge der Bilder dieser Teilmenge unter der Bijektion f eine Teilmenge von N.
Beispiele:
P={1} => g(P) = {f(x) | xe{1} } = {A}
P={1,2} => g(P) = {f(x) | xe{1,2} } = {A,B}
P={} => g(P) = {f(x) | xe{} } = {}
Jetzt klar? |
Gertrude
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 20:28: |
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Das Beispiel ist mir klar,aber wie zeige ich ,daß das allgemein gilt,d.h. für alle bijektiven Abbildungen? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 20:34: |
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Das hatte ich oben schon allgemein gezeigt. Das Beispiel habe ich nur gegeben, weil Du mich darum gebenten hattest. |
Gertrude
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 09:37: |
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Nun sei doch nicht gleich beleidigt,ich wollte gerne wissen wieso ich g:P(M)->P(N) mit g(P)={f(x)|xeP} definieren kann.Will sagen,ich kann mit g nichts anfangen. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 18:09: |
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Um zu zeigen, daß 2 Mengen gleichmächtig ist, genügt es die Existenz einer Bijektion zwischen den Mengen nachzuweisen.
Das g ist eine solche Bijektion.
Man muß hier also nichts für alle beliebigen Abbildungen zeigen, sondern hier muß man zeigen, daß die von mir definierte Abbildung g wirklich eine Bijektion ist.
Was man sich unter g vorzustellen hat, zeigt das obige Beispiel.
Gruß
Matroid |
Kaja
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 17:04: |
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Man zeige , daß eine Menge von n Elementen 2(hoch n-1) - 1 Partitionen mit je zwei Mengen (ungleich 0) besitzt.
Bitte helft mir, ich weiß echt nicht was ich machen soll :-(
Danke im voraus Katja |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 21:17: |
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Hi Kaja,
eine Partition ist eine disjunkte Aufteilung der Elemente der Menge. Da nur Partitionen aus 2 Mengen gezaehlt werden sollen, ist also für jedes der n Elemente von M zu entscheiden, ob es in die erste oder in die zweite Menge soll. Ich nenne die beiden Teilmenge, die zusammen eine Partition bilden, im weiteren A und B.
Nun muß man sich überlegen, wann denn zwei Partitionen der Menge M in Mengen A und B gleich sind. Ich kürze ab: Part(M) stehe für "Partition der Menge M in zwei nicht leere Mengen A und B".
Es ist Part(M) = { {A,B} | A,B Teilmengen von M und (A vereiniget B) = M }.
Da es sich bei Partitionen um Mengen von Mengen handelt, ist die Reihenfolge von A und B beliebig.
Wenn also {A,B} eine Partition ist, dann ist {A,B} dieselbe Partition.
Wenn man eine (nicht leere) Teilmenge A von M wählt, dann ist das Komplement M\A die andere Menge für eine Partition. Da die Partition aber aus nicht leeren Mengen bestehen soll, muß man voraussetzen, daß A weder leer noch gleich M ist.
Wir zählen die gefragen Partionen also, indem wir die Anzahl der verschiedenen Teilmengen von M bestimmen, die nicht leer und nicht gleich M sind - und anschließend durch 2 Teilen, weil ja zu jeder Menge auch deren Komplement eine Teilmenge ist.
M hat n Elemente. Die Menge aller Teilmengen (also die Potenzmenge) hat 2n Elemente (sprich Teilmengen von M). Von diesen 2n Teilmengen kommen genau zwei, nämlich die leere Menge und M selbst, für die geforderten Partitionen nicht in Frage. Es bleiben 2n - 2 Mengen.
Nun enthält die Menge aller aber zu jeder Menge auch deren Komplement. Je zwei Mengen bilden die gleiche Partition, nur die Reihenfolge wäre ja verschieden, und das zählt bei Mengen nicht.
Folglich ist die Anzahl der Partitionen gleich
(2n - 2) / 2
Gruß
Matroid |
Nevin Örtülü (Nevin20)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 18:11: |
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Hallo hier mein Problem:
P(M):=Menge aller Teilmengen von M
(="Potenzmenge" von M)
Pe(M):=Menge aller endlichen Teilmengen von M
<Frage 1>
Es sei PHI: M-->P(M) eine Abbildung.Betrachte die Teilmenge X:={x ELEMENT M|x NICHT ELEMENT PHI(x)} und zeige, dass es kein m ELEMENT M geben kann mit PHI(m)=X. (PHI ist also nicht surjektiv).
<Fragen 2>
Verwende die Darstellung von n ELEMENT Natürl.Zahlen mit (0,1,2,3 gemeint ist No)
im Dualsystem, um eine surjektive Abbildung PHI:No-->Pe(No) zu konstruieren.
Bin sehr dankbar für jede anmerkung.
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