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Sarah
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 17:13: | 
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Hi Jungs und Mädels!
Ich sitze hier gerade vor einer Aufgabe, die es wahrlich in sich hat. Ich hoffe jemand von euch versteht, welcher tiefere Sinn sich hinter diesen Zielen versteckt hält:
Es seien K Teilmenge des R^n kompakt, U Teilmenge R^n offen und K Teilmenge U. Zeigen Sie: Es gibt ein unendlich oft über R^n differenzierbares h (h:R^n nach R) mit 0 <= h <= 1 (was genau ist gemeint?), h beschränkt auf K = 1 und Trh Teilmenge U, wobei Trh:={x Element R^n: h(x) ungleich 0} den sog. Träger von h bezeichnet.
(Hinweis: Wählen Sie eine passende Überdeckung von K durch endlich viele Kugeln, wählen Sie zu diesen Kugeln p1,...,pm und setzen Sie h:= 1-(1-p1)* ... *(1-pm).) |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1121
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juni, 2002 - 11:10: |
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Hallo Sarah,
gesucht ist eine Funktion h mit
(1) 0 <= h(x) <= 1 für alle x aus R^n
(2) h(x) = 1 für alle x aus K
(3) h(x) = 0 für alle x aus R^n \ U
Für x aus K sei C(x) eine Kugel mit Mittelpunkt x, die ganz in U liegt (gibt es!).
D(x) sei eine Kugel mit Mittelpunkt x und halben Radius wie C(x).
Natürlich überdecken die Kugeln D(x) die Menge K. Da K kompakt, gibt es x1, ..., xm, sodass D(x1), ..., D(xm) die Menge K überdecken.
Für i = 1, ..., m bestimme nun diffbare Funktionen pi: R^n -> R so, dass
pi(x) = 1 für x aus D(xi)
pi(x) = 0 für x aus R^n \ U
Setze dann h(x) := 1 - (1 - p1(x)) * ... * (1 - pm(x))
Reicht dir das?? |
Sarah
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juni, 2002 - 15:54: |
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Danke erst einmal für Deine Hilfe! Nun kann ich mich wieder an die Aufgabe heranwagen. Falls doch noch eine Frage offenbleibt, werde ich mich wieder melden. Bis bald!
Sarah |
Lara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 12:11: |
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Hallo Zaph
Ich sitze an der gleichen Aufgabe wie Sarah, habe jedoch noch nicht den vollen Durchblick.
Warum nimmst du bei D(x) den halben Radius von C(x), und wie kann ich die Funktion pi(x) bestimmen?
mfg Lara |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
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Nummer des Beitrags: 1145
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 21:27: |
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Hallo, ich meinte ja auch
pi(x) = 1 für x aus D(xi)
pi(x) = 0 für x aus R^n \ C(xi)
Jetzt ist noch zu klären, wie pi(x) für x aus C(xi) \ D(xi) definiert werden muss, damit pi(x) unendlich oft differenzierbar wird.
Das ist jetzt ein bisschen eklig. Das folgende müsste klappen.
pi(x) = (1 + e-1/(s - ri/2)) e-1/(ri - s)
wober ri der Radius von C(xi) und s der Abstand von x und xi ist.
(Mach mal eine Skizze von der rechten Seite für ri/2 < s < ri. Hoffe, dann ist klar, wie ich darauf gekommen bin.) |
Sarah
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 21:19: |
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Hallo Zaph,
Danke erst einmal für Deine Hilfe. Es tut mir wirklich leid, Dich nochmals herauszufordern, aber Du scheinst echt Ahnung auf diesem Gebiet zu haben. Ich habe etwas weiter oben die Fortsetzung dieser Aufgabe veröffentlicht, welche ich heute erhalten habe. Vielleicht könntest Du sie Dir ja auch mal anschauen, das wäre echt nett... |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1150
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| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 23:21: |
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Hallo Sarah, danke für das Kompliment, und ich hoffe, du konntest was damit anfangen. Bei der anderen Aufgabe muss ich momentan leider passen, weil sie
a) vertrakter ist, als sie zunächst aussieht,
b) falsch ist,
c) ich momentan ein Brett vor dem Kopf habe.
Vermute mal, dass letzteres der Fall ist. Mal sehen, ob mir morgen was dazu einfällt ... |
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