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Kryptische Funktion - stetig partiell...

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Wolf
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 17:02:   Beitrag drucken

Hallo zusammen. Das ist nicht das erste Mal, dass ich eure abgefahrene Mathe- Seite besuche. Obwohl ich noch nie selbst geschrieben habe, wurde mir aber schon häufig bei eigenen Problemen geholfen. Dafür nun erst einmal Danke an alle, die sich hier so unheimlich bemühen, Aufgaben zu lösen. Nun zu meinem Anliegen: Ich soll folgendes zeigen:

Es sei p>0, für t Element R sei sign t:= t/abs(t), falls t != 0, und sign 0:=0. Ferner sei fp:R^2 nach R, (!= ungleich, abs() Absolutbetrag)
fp(x,y):= {((abs(x))^p)*sign x + ((abs(y))^p)*sign y}/{x^2 + y^2}, falls (x,y) != (0,0)
und fp(x,y):= 0, falls (x,y) = (0,0)
Aufgabe: Bestimmen sie alle p>0, für welchefp
a) in 0 stetig ist
b) in 0 part. diffbar ist
c) in 0 (total) diffbar ist
d) in R^2 stetig partiell diffbar ist.
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Sarah
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juni, 2002 - 15:57:   Beitrag drucken

Das würde mich auch sehr interessieren! Weiß da denn niemand was mit anzufangen?!
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marc
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 20:39:   Beitrag drucken

hat jemand Ansätze?vielleicht wenigstens zu einem Teil der a, b, c oder d?
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orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 276
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 08:58:   Beitrag drucken

Hallo :

Hier mal eine Starthilfe :

Die Definition der Stetigkeit von f_p bei (0,0) besagt audführlich :

f_p ist stetig in (0,0) :<==> lim[(x,y)->(0,0)]f_p(x,y) existiert und ist = 0 :<==> zu eps >0 existiert
delta>0 sodass | f_p(x,y) | < eps für alle (x,y)
mit |x| < delta und |y|<delta.

Wir behaupten nun: f_p ist stetig bei (0,0)
g.d.w. p > 2

Beweis: a) Sei p > 2. Dann gilt für (x,y)
!= (0,0)

|f_p(x,y)| =< (|x|^p + |y|^p)/(x^2+y^2)

< |x|^(p-2) + |y|^(p-2).

Zu gegebenem eps>0 leistet nun offenbar
delta := (eps/2)^(1/(p-2)) das Verlangte.

b) Sei 0 < p =< 2. Dann ist

f_p(x,x) = sgn(x)*x^(p-2), d.h. lim[x->0]f_p(x,x}
existiert nicht.

mfg

Orion


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Wolf
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 18:22:   Beitrag drucken

Danke für Deine Hilfe. Bis bald
Wolf
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marc
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 21:21:   Beitrag drucken

vielen Dank Orion auch von mir:-)
Hast du auch Ansätze für b und d?
Wär sehr nett.
Marc
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orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 277
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 14:22:   Beitrag drucken

Hallo ,

Weitere Hilfe zur Selbsthilfe:

Bezeichnungsvereinfachung: Ich schreibe
f(x,y) statt f_p(x,y) , f_x , f_y bezeichnen die
partiellen Ableitungen von f bzgl. x bzw. y.

b) Es ist f_x(0,0) = lim[h->0](f(h,0)-f(0,0))/h

= |h|^p*sgn(h)/h^3.

Es ist leicht zu sehen, für welche p dieser
lim existiert, und welchen Wert er hat.

c) f ist im Punkt (0,0) total differenzierbar :<==>
die Differenz

f(h,k) - f(0,0) - {h*f_x(0,0)+k*f_y(0,0)}

für (h,k)->(0,0) von höherer Ordnung als sqrt(h^2+k^2) gegen Null konvergiert.

d) f(x,y) ist sicher in allen Punkten (x,y) mit
x != 0 und y != 0 sogar beliebig oft differenzierbar. Schwierigkeiten gibt es also
höchstens längs der Koordinatenachsen
y = 0 bzw. x = 0. Ich würde nun z.B. f_x(x,y)
einmal für x>0,y>0 und zum anderen für
x<0, y>0 ausrechnen . Was ergibt sich, wenn
man in beiden Ausdrücken y->0 gehen lässt ?

mfg

Orion

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Marc
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 15:55:   Beitrag drucken

Vielen lieben Dank.
Zum Teil hatte ich selber schon solche Ansätze gefunden.
Danke nochmal:-)

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