Autor |
Beitrag |
Wolf
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 17:02: |
|
Hallo zusammen. Das ist nicht das erste Mal, dass ich eure abgefahrene Mathe- Seite besuche. Obwohl ich noch nie selbst geschrieben habe, wurde mir aber schon häufig bei eigenen Problemen geholfen. Dafür nun erst einmal Danke an alle, die sich hier so unheimlich bemühen, Aufgaben zu lösen. Nun zu meinem Anliegen: Ich soll folgendes zeigen: Es sei p>0, für t Element R sei sign t:= t/abs(t), falls t != 0, und sign 0:=0. Ferner sei fp:R^2 nach R, (!= ungleich, abs() Absolutbetrag) fp(x,y):= {((abs(x))^p)*sign x + ((abs(y))^p)*sign y}/{x^2 + y^2}, falls (x,y) != (0,0) und fp(x,y):= 0, falls (x,y) = (0,0) Aufgabe: Bestimmen sie alle p>0, für welchefp a) in 0 stetig ist b) in 0 part. diffbar ist c) in 0 (total) diffbar ist d) in R^2 stetig partiell diffbar ist. |
Sarah
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juni, 2002 - 15:57: |
|
Das würde mich auch sehr interessieren! Weiß da denn niemand was mit anzufangen?! |
marc
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 20:39: |
|
hat jemand Ansätze?vielleicht wenigstens zu einem Teil der a, b, c oder d? |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 276 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 08:58: |
|
Hallo : Hier mal eine Starthilfe : Die Definition der Stetigkeit von f_p bei (0,0) besagt audführlich : f_p ist stetig in (0,0) :<==> lim[(x,y)->(0,0)]f_p(x,y) existiert und ist = 0 :<==> zu eps >0 existiert delta>0 sodass | f_p(x,y) | < eps für alle (x,y) mit |x| < delta und |y|<delta. Wir behaupten nun: f_p ist stetig bei (0,0) g.d.w. p > 2 Beweis: a) Sei p > 2. Dann gilt für (x,y) != (0,0) |f_p(x,y)| =< (|x|^p + |y|^p)/(x^2+y^2) < |x|^(p-2) + |y|^(p-2). Zu gegebenem eps>0 leistet nun offenbar delta := (eps/2)^(1/(p-2)) das Verlangte. b) Sei 0 < p =< 2. Dann ist f_p(x,x) = sgn(x)*x^(p-2), d.h. lim[x->0]f_p(x,x} existiert nicht. mfg Orion
|
Wolf
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 18:22: |
|
Danke für Deine Hilfe. Bis bald Wolf |
marc
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 21:21: |
|
vielen Dank Orion auch von mir:-) Hast du auch Ansätze für b und d? Wär sehr nett. Marc |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 277 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 14:22: |
|
Hallo , Weitere Hilfe zur Selbsthilfe: Bezeichnungsvereinfachung: Ich schreibe f(x,y) statt f_p(x,y) , f_x , f_y bezeichnen die partiellen Ableitungen von f bzgl. x bzw. y. b) Es ist f_x(0,0) = lim[h->0](f(h,0)-f(0,0))/h = |h|^p*sgn(h)/h^3. Es ist leicht zu sehen, für welche p dieser lim existiert, und welchen Wert er hat. c) f ist im Punkt (0,0) total differenzierbar :<==> die Differenz f(h,k) - f(0,0) - {h*f_x(0,0)+k*f_y(0,0)} für (h,k)->(0,0) von höherer Ordnung als sqrt(h^2+k^2) gegen Null konvergiert. d) f(x,y) ist sicher in allen Punkten (x,y) mit x != 0 und y != 0 sogar beliebig oft differenzierbar. Schwierigkeiten gibt es also höchstens längs der Koordinatenachsen y = 0 bzw. x = 0. Ich würde nun z.B. f_x(x,y) einmal für x>0,y>0 und zum anderen für x<0, y>0 ausrechnen . Was ergibt sich, wenn man in beiden Ausdrücken y->0 gehen lässt ? mfg Orion
|
Marc
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 15:55: |
|
Vielen lieben Dank. Zum Teil hatte ich selber schon solche Ansätze gefunden. Danke nochmal:-) |
|