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Mc Coy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 16:46: | 
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Hallo Leute! Ich habe da ein Problem mit einer interessanten Aufgabe. Vielleicht könnt ihr mir da weiterhelfen. Meine Aufgabe lautet:
Es sei f:R^2 nach R,
f(x,y):= {exp(x^(-2)*y^(-2))}/{exp(x^(-4))+ exp(y^(-4))}, falls x,y ungleich 0
f(x,y):= 0, falls x oder y gleich 0
zu zeigen:
a) f ist partiell diffbar
b)In welchen Punkten (a,b) aus R^2 ist f stetig part. diffbar bzw. (total) diffbar bzw. stetig?
c)f ist beliebig oft partiell diffbar
Ich habe da nämlich einige Zusammenhänge nicht so ganz verstanden. Die Lösung dieser Aufgabe würde meinem Verständnis sicherlich helfen. Danke. |
Mc Coy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 20:48: |
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Weiß da denn niemand weiter, ich verzweifle noch an dieser Aufgabe! |
Tim
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 10:14: |
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Hat denn niemand einen kleinen Tipp für uns? |
Mc Coy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 13:41: |
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Bitteeeeeeeee |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1138
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:31: |
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Sorry, dass euch noch niemand geholfen hat. Habt ihr schon mal die partiellen Ableitungen für x,y ungleich 0 ausgerechnet? Falls ja, schreibt sie mal hier hin. Falls es schon daran scheitert, meldet euch noch mal. |
tessa
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 11:58: |
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Also ich muss zugeben, dass ich schon damit Probleme hab.... |
Bob
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 12:07: |
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Hallo
Anscheinend haben wirklich viele an dieser Aufgabe zu knacken (leider gehöhre ich mit dazu).
Auch ich muß schon beim der partiellen Ableitung passen.
Mein Ansatz ist: lim (x->0) (f(x,y) - f(0,y)) / x
Alle Werte eingesetzt, komme ich leider schon nicht weiter.
Ist der Ansatz überhaupt richtig, oder schon alles falsch???
Ich verzweifle noch an dieser Aufgabe
Gruss Bob |
Mc Coy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 12:30: |
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Hallo Tessa, hallo Zaph!
Die partiellen Ableitungen für x,y ungleich 0 lauten:
df/dx = [(4*x^(-5)-2ax^(-3))*e^(ax^(-2)+x^(-4)) - 2abx^(-3) *e^(ax^(-2))]/ (e^x^(-4) +b)^2
Dabei ist a:= y^(-2) , b:= e^y^(-4)
df/dy geht analog. Man tauscht dabei oben nur x und y um (Symmetrie)
Ich habe mittlerweile selber herausgefunden, wie man "partiell diffbar" zeigt: Einfach den Differenzenquotienten bilden:
lim(x gegen 0, x ungleich 0) (f(x,0)-f(0,0))/x-0 und dieser ist nach Vor. gleich 0, da f(x,0)=f(0,0)=0 n. Vor. (Mit y analog)
Daraus folgt die partielle Diffbarkeit.
Für die Stetigkeit von f in (0,0) betrachte man eine Folge (x_n)n>=1 in R, die gegen 0 konvergiert und schaut sich mal f(x_n,x_n) = 1/2 an (leicht zu zeiegen). Also ist f unstetig in (0,0).
Schaut man sich wiederum f(x,x_n) bzw. f(x_n,y) (x,yungleich 0, bel. aber fest) an, so erhält man nach 2 Umformungen 0 als Grenzwert für n gegen unendlich. Daraus folgt: f stetig in (x,0) und (0,y).
Zu st. part. diffbar: Wieder das gleiche, nur diesmal muss man zeigen, ob die reichlich unschöne partielle Abl. in (0,0), (0,y),(x,0) stetig ist.
Und da ist jetzt auch mein Problem, denn die partiellen Ableitungen müssten eigentlich in (0,0) unstetig sein, denn sonst wäre f in (0,0) automatisch total diffbar und damit stetig (aus St. part: diffbar folgt total diffbar folgt stetig), aber das Gegentiel habe ich ja gerade oben gezeigt!! Ich erhalte aber immer, dass die partielle Ableitung in (0,0) stetig gegen 0 konvergiert, es muss also folgen x_n, y_n in R geben, die gegen 0 konvergieren, für die df/dx bzw. df/dy(x_n,y_n) NICHT gegen 0 konvergiert. ZAPH, vielleicht kannst Du uns helfen!?
Zur Diffbarkeit: Aus f in (x,y) st. part. diffbar als Quotient diffbarer Funktionen, f in (0,y) und (x,0) st. part. diffbar(y,x ungleich 0), NICHT aber st. part. diffbar in (0,0) würde dann folgen:
f total diffbar in R^2 ohne (0,0). |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1146
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 21:56: |
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Ist nicht mein Steckenpferd; habe deshalb den Bronstein befragt. In Kapitel 3.1.6.1 steht dort, dass aus der Differenzierbarkeit im Allgemeinen nicht die Stetigkeit folgt. Als Beispiel ist dort die Funktion xy/(x² + y²) angegeben. |
Mc Coy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 08:03: |
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Na ja, irgendwie werde ich es schon hinkriegen. Danke für alles! |
Manja (manja1)
Mitglied
Benutzername: manja1
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 18:45: |
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Hallo,
da ihr grad so schön dabei seid, ich habe ein ähnliches Problem:
f(x1,x2)=3x11/3*x22/3
a) die funktion ist vom Typ Cobb-Douglas
b)die partielle Elastizität von f bzgl. x1 ist größer 1
c) die partielle Elastizität von f bzgl x2 ist kleine 1
d) die Funktion ist homogen vom Grade 0,5
e) die Funktion ist homogen vom Grade 1
f) keine Aussage trifft zu |
Dobby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juni, 2002 - 22:18: |
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Hallo Manja,
bitte für neue Fragen einen neuen Beitrag öffnen! |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 00:43: |
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Hallo Manja,
a) ist trivial! Das sieht man (bis auf (*)!
Guck dir die Definition von Cobb-Douglas-Funktionen an!
(1/3),(2/3),3 >0 => (*) wenn x1,x2 aus
(0, oo)² => Das ist eine Cobb-Douglas Funktion!
b) schau dir die Def. von Elastizität an und prüf nach, ob es stimmt!
c) ebenso!
d)
Es sei t>0 gegeben.
Dann ist
f(t(x1,x2)=f(tx1,tx2)
=3*[t^(1/3)]*[(x1)^(1/3)]*[t^(2/3)]*[(x2)^(2/3)]
=3*t[[(x1)^(1/3)]*[(x2)^(2/3)]]=t^1 *f(x1,x2)
Also ist die Aussage d) falsch, da f homogen vom Grade 1 ist!!!
(e) ist also wahr)
=>
f) ist auch falsch!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
Manja (manja1)
Mitglied
Benutzername: manja1
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 19:17: |
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Danke M., du hast mir sehr geholfen
Manja |
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