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Jordansche Normalform

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Lineare Algebra » Matrizen » Jordansche Normalform « Zurück Vor »

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Nina
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 10:56:   Beitrag drucken

Hallo!
Wer kann mir die einzelnen Schritte zur Berechnung einer Jordanschen Normalform erklären? Was mache ich, nachdem ich das Minimalpolynom habe???
Würde mich echt freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!!!
Danke!
Gruß,
Nina
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clara
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 12:17:   Beitrag drucken

Hi Nina,
das ganze Verfahren ist ziemlich aufwendig. Bei den meisten Ü-Aufgaben kommt man mit weniger aus. Es genügt meistens nach dem Minimalpolynom nur noch die Dimension einiger Eigenräume zu bestimmen. Dazu müßte ich nun aber genau wissen, wie die Matrix, das char. Polynom und Minimalpolynom aussieht.
gru0 clara
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Nina
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 16:15:   Beitrag drucken

Hi Clara!

Ich habe hier zum Beispiel die folgende Matrix:


1 1 0 1
0 2 0 0
-1 1 2 1
-1 1 0 3

das charakteristische Polynom, ist (X-2)^4
das Minimalpolynom ist (X-2)^2
Vielleicht kannst du mir das daran erklären? Das wäre furchtbar nett!
Und noch eine Frage:
Was mache ich denn, wenn zum Beispiel mein
charak. Polynom so aussieht: (X-3)^3*(X-4)°2
und vielleicht mein Minim.Poly. (X-3)*(X-4)^2
??? Danke schonmal!

Nina
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clara
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 17:03:   Beitrag drucken

Hallo Nina,
das char.Polynom gibt dir die Information welche Elemente in der Diagonalen der JNF stehen. Das Minimalpolynom gibt dir die Information über den größten auftretenden Jordan-Block zu einem Eigenwert (jeweils die Potenz in dem entsprechenden Linearfaktor). Bei der Matrix ist es nun also so, dass nur 2 als Diagonalelement auftaucht und das der größte Block, ein 2x2-Block ist. Also ergeben sich zwei Möglichkeiten:
2 1 0 0 ,, 2 1 0 0
0 2 0 0 ,, 0 2 0 0
0 0 2 0 ,, 0 0 2 1
0 0 0 2 ,, 0 0 0 2.
Also einmal ein Block der größte 2 und zwei Blöcke der größte 1 oder 2 Blöcke der größe 2.
Jetzt mußt du noch die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert ausrechnen. Also dim(kern(A-2E)), wobei die die Einheitsmatrix ist. In diesem Fall ist das 3. Das bedeutet, dass es zum Eigenwert 2 genau drei Jordanblöcke gibt. Also ist meine erstgenannte Matrix die JNF von A.
Für die andere Aufgabe ist die gesuchte JNF:
3 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 1
0 0 0 0 4
Natürlich immer nur bis auf Reihenfolge (den "Viererblock" kann man auch nach oben schreiben).
Das char.Poly. hat den Grad 5, also ist es eine 5x5-Matrix. Es kommen nur 3 und 4 in der Diagonalen vor. Wegen dem Min-Poly. ist der größte Block zu 3 nur 1x1 und der größte Block zu 4 2x2. Es können nicht zwei Blöcke der größte 2 zu 4 auftauchen, also etwa:
3 0 0 0 0
0 4 1 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 4 1
0 0 0 0 4
denn das char.Poly. dieser Matrix wäre (x-3)* (x-4)^4. Die Eigenwerte können also nur so oft auftauchen, wie die Vielfachheit der Nullstelle im char.Poly. angibt.
Die Frage nach einer Transformationsmatrix ist natürlich eine andere.
Gruß clara
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Nina
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Juni, 2002 - 10:45:   Beitrag drucken

Hallo Clara!
Vielen vielen Dank!!!
Das hat mir echt geholfen! Mit Transformationsmatrizen haben wir in diesem Kapitel noch nichts gemacht.
Also, wirklich ganz lieben Dank!!!
Nina
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nina
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 12:13:   Beitrag drucken

Hallo Clara! (oder jemand, der das liest)

Könntest du mir vielleicht anhand der obigen Matrix auch die rationale Normalform erklären??? Das wäre supernett. Und wie bestimmt man eine Basis dazu?

Vielen Dank,
Gruß, Nina

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