Autor |
Beitrag |
Nina
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 10:56: |
|
Hallo! Wer kann mir die einzelnen Schritte zur Berechnung einer Jordanschen Normalform erklären? Was mache ich, nachdem ich das Minimalpolynom habe??? Würde mich echt freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!!! Danke! Gruß, Nina
|
clara
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 12:17: |
|
Hi Nina, das ganze Verfahren ist ziemlich aufwendig. Bei den meisten Ü-Aufgaben kommt man mit weniger aus. Es genügt meistens nach dem Minimalpolynom nur noch die Dimension einiger Eigenräume zu bestimmen. Dazu müßte ich nun aber genau wissen, wie die Matrix, das char. Polynom und Minimalpolynom aussieht. gru0 clara |
Nina
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 16:15: |
|
Hi Clara! Ich habe hier zum Beispiel die folgende Matrix: 1 1 0 1 0 2 0 0 -1 1 2 1 -1 1 0 3 das charakteristische Polynom, ist (X-2)^4 das Minimalpolynom ist (X-2)^2 Vielleicht kannst du mir das daran erklären? Das wäre furchtbar nett! Und noch eine Frage: Was mache ich denn, wenn zum Beispiel mein charak. Polynom so aussieht: (X-3)^3*(X-4)°2 und vielleicht mein Minim.Poly. (X-3)*(X-4)^2 ??? Danke schonmal! Nina
|
clara
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 17:03: |
|
Hallo Nina, das char.Polynom gibt dir die Information welche Elemente in der Diagonalen der JNF stehen. Das Minimalpolynom gibt dir die Information über den größten auftretenden Jordan-Block zu einem Eigenwert (jeweils die Potenz in dem entsprechenden Linearfaktor). Bei der Matrix ist es nun also so, dass nur 2 als Diagonalelement auftaucht und das der größte Block, ein 2x2-Block ist. Also ergeben sich zwei Möglichkeiten: 2 1 0 0 ,, 2 1 0 0 0 2 0 0 ,, 0 2 0 0 0 0 2 0 ,, 0 0 2 1 0 0 0 2 ,, 0 0 0 2. Also einmal ein Block der größte 2 und zwei Blöcke der größte 1 oder 2 Blöcke der größe 2. Jetzt mußt du noch die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert ausrechnen. Also dim(kern(A-2E)), wobei die die Einheitsmatrix ist. In diesem Fall ist das 3. Das bedeutet, dass es zum Eigenwert 2 genau drei Jordanblöcke gibt. Also ist meine erstgenannte Matrix die JNF von A. Für die andere Aufgabe ist die gesuchte JNF: 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 4 Natürlich immer nur bis auf Reihenfolge (den "Viererblock" kann man auch nach oben schreiben). Das char.Poly. hat den Grad 5, also ist es eine 5x5-Matrix. Es kommen nur 3 und 4 in der Diagonalen vor. Wegen dem Min-Poly. ist der größte Block zu 3 nur 1x1 und der größte Block zu 4 2x2. Es können nicht zwei Blöcke der größte 2 zu 4 auftauchen, also etwa: 3 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 4 denn das char.Poly. dieser Matrix wäre (x-3)* (x-4)^4. Die Eigenwerte können also nur so oft auftauchen, wie die Vielfachheit der Nullstelle im char.Poly. angibt. Die Frage nach einer Transformationsmatrix ist natürlich eine andere. Gruß clara |
Nina
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Juni, 2002 - 10:45: |
|
Hallo Clara! Vielen vielen Dank!!! Das hat mir echt geholfen! Mit Transformationsmatrizen haben wir in diesem Kapitel noch nichts gemacht. Also, wirklich ganz lieben Dank!!! Nina |
nina
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 12:13: |
|
Hallo Clara! (oder jemand, der das liest) Könntest du mir vielleicht anhand der obigen Matrix auch die rationale Normalform erklären??? Das wäre supernett. Und wie bestimmt man eine Basis dazu? Vielen Dank, Gruß, Nina |
|