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Beitrag |
    
Erich L.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 09:22: | 
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Hallo,
Wie löse ich die folgende Aufgabe über Fourierreihen
Man entwickle die 2 Pi - periodische Funktion
f(x) = x ( 2 Pi – x ) in eine Fourierreihe und leite
daraus die Beziehungen
a) Zeta(2) = Pi^2 / 6 , b) Zeta(4) = Pi^ 4 / 90 her.
Zeta ist die Riemannsche Zetafunktion.
Zusatzaufgabe
Mit welcher 2 Pi.- periodischen Funktion lässt sich ebenso
die Beziehung Zeta(6) = Pi^6 / 945 bestätigen ?
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar
Erich L.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 12:23: |
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Hi Erich,
Formale Lösung der Teilaufgabe a) und b)
Die Entwicklung von f(x) in eine Fourierreihe ist eine
Routineangelegenheit ; auf eine detaillierte Herleitung
dieser Reihe möchte ich daher verzichten.
Das Resultat lautet:
Für 0 < x < 2 Pi gilt für f(x) die Darstellung
x ( 2* Pi – x ) = 2/3 * Pi ^ 2 - 4 * sum [1/n^2 * cos ( n x ) ] ,
der Summationsindex n geht dabei von 1 ad infinitum .
Um Zeta (2) zu ermitteln, setzen wir x = 0 ein, was nach
Dirichlet zulässig ist.
Wir bekommen das wohlbekannte Resultat Z(2) = Pi ^2 / 6
aus der Gleichung 0 = 2/3 * Pi ^ 2 - 4 * Z(2),
wobei Z(2) für Zeta(2) steht.
Setzen wir x = Pi, so kommt, ebenfalls legal, die entsprechende
Reihe mit alternierenden Vorzeichen, nämlich
T = sum [(-1) ^ n / n^2 * cos ( n x ) ] ,
der Summationsindex n geht wieder von 1 bis unendlich.
Aus der Gleichung
Pi ^ 2 = 2/3 * Pi ^ 2 - 4 * T entspringt:
T = - 1/12 * Pi^2
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Auch Zeta (4) lässt sich aus derselben Fourierreihe bestimmen;
dazu verwenden wir die Formel von PARSEVAL, die mit P = 2 Pi
als Periode so lautet:
1 / (2 Pi) * int [ {f(x) }^2 * dx] = ao^2 + sum [½ (an^2 + bn^2)]
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Integral: untere Grenze x = 0, obere Grenze x = 2 Pi
Index n der Summation: von 1 bis unendlich
ao,a1 .. b1,b2,....sind die Fourierkoeffizienten,
im vorliegenden Fall gilt:
ao = 2/3 * Pi ^ 2 , an = - 4 / n^2 für n = 1,2,….,alle bn sind null.
Auf der rechten Seite der Parsevalschen Formel steht daher:
R = 4/9 Pi ^ 4 + ½ * sum [ 16 / n^4 ] , n = 1..oo
Die linke Seite L mit dem Integral ergibt
L = 1/(2 Pi) * int [x^2*(2Pi - x)^2 * dx] = 8/15 * Pi^4
Aus L = R folgt die bekannte Beziehung
Z(4) = (Pi)^4 / 90.
Es ist reizvoll, die Milchmädchenrechnung
1 / 15 – 1 / 18 = 1 / 90
auszuführen; man weiss dann, woher der Nenner 90 kommt.
Die Lösung der Zusatzaufgabe folgt mit gebührendem
zeitlichem Abstand.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 14:08: |
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Hi Erich,
Formale Lösung der Zusatzaufgabe
Als 2 Pi-periodische Funktion g(x), die wir in
eine Fourierreihe entwickeln wollen, wählen wir
g(x) = x ^ 6 für das Intervall – Pi < x < Pi
Hoffentlich haben wir Glück damit !
Routinemässig ermitteln wir die Fourierkoeffizienten.
Alle bn sind aus Symmetriegründen null
Für ao erhalten wir:
ao = 1/7* Pi^6
Die Koeffizienten an bei cos(nx) mit n = 1 , 2 , 3 ,
sind nach der Parität von n zu klassifizieren:
Für ungerade n gilt:
an = 2 / n ^ 6 * [ - 6 n^4 Pi^4 + 120 n^2* Pi ^2 – 720 ]
Für gerade n gilt:
an = 2 / n ^ 6 * [ 6 n^4 Pi^4 - 120 n^2* Pi ^2 + 720 ]
Damit ist die Reihenentwicklung bekannt.
Wir setzen darin x = Pi ein und erhalten nach braver Rechnung
das erwünschte Resultat.
Vollzug
Links steht L = Pi^6
Rechts stehen (nach erlaubten Umstellungen) drei Zetareihen,
nämlich die beiden schon hergeleiteten Reihen für
Zeta(2) und Zeta(4) sowie die Reihe für Zeta (6), deren
Summe Z(6) wir berechnen wollen.
Im folgenden benützen wir die Schreibweise
Zeta(2) = Z(2), Zeta(4)= Z(4),deren exakte6 Werte unter a)
berechnet wurden.
Rechte Seite R:
R = 1/7*Pi^6 + 12 / 1 * [ Pi^4 - 20 *Pi^2 + 120]
+ 12 / 2^6 * [ 2^4 Pi^4 –20 *2^2 *Pi^2 + 120]
+ 12 / 3^6 * [ 3^4 Pi^4 –20 *3^2 *Pi^2 + 120] +………..
Nach erfolgter Umstellung lautet R so:
R = 1/7*Pi^6 + 12*Pi^4 * Z(2) – 240* Pi^2 * Z(4) + 1440*Z(6)
In der Beziehung L = R setzen wir die bekannten Werte für
Z(2) und Z(4) ein und lösen nach Z(6) ein; Ergebnis
Z(6) = Pi^6/ 945
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Dabei entsteht der Nenner 945 durch die famose Rechnung
[1440 * 21] / [18 – 42 + 56]
Bei der Lösung der Teilaufgabe b) mit der soeben
erfolgreich eingesetzten Methode konnten wir auf
den Gebrauch der Formel von PARSEVAL verzichten.
Anregung.
Wende für das obige Beispiel die Formel von PARSEVAL an,
und bestaune das Resultat gebührend !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Erich L.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 11:39: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Herzlichen Dank für Deine meisterhafte Lösung
Du hast mir wesentlich weiter geholfen !
Erich
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Erich L.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 16:31: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Herzlichen Dank für Deine meisterhafte Lösung
Du hast mir wesentlich weiter geholfen !
Erich
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