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Axiom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 22:30: | 
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Hallo erstmal,
ich bin an folgendem Thema doch ´brennend´ interessiert:
Ich habe gehört, dass jemand (Gödel?) bewiesen hat, dass es (in einem axiomatischen System) Aussagen gibt, die weder beweisbar noch widerlegbar sind. Nur leider habe ich im Internet bis jetzt nur wenige bis gar keine Seiten gefunden, die mir dies verständlich machen. Gibt es ein Beispiel einer solchen Aussage? Sind die Axiome nicht sogar schon selbst solche Aussagen? Welche Vorkenntnisse benötige ich, um das zu begreifen?
Vielleicht kennt jemand ein Beispiel oder kann mir eine gute Internet-Adresse empfelen.
Schonmal Danke für die Mühe im Voraus!
Gruß
Axiom |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 509
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 14:06: |
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Hallo Axiom
Die Aussage gilt nicht immer, man braucht noch irgendwelche Voraussetzungen an das Axiomensystem (z.B. endlich). Unbedingt nötig ist die Widerspruchsfreiheit des Axiomensystem. Zunächst muss man sich fragen, was als beweisbar gelten soll. Das sind Aussagen, die aus den Axiomen ableitbar sind (mittels logischer Umformungen und Folgerungen, die auch durch das Axiomensystem vorgegeben sind). Damit sind Axiome sehr wohl beweisbar. Die einfachste und auch revolutionärste nicht beweisbare Aussage ist: Dieses Axiomensystem ist widerspruchsfrei. Damit hat Gödel gezeigt, dass wir uns bei Axiomensystemen nie sicher sein können, dass sie widerspruchsfrei sind, denn könnten wir es beweisen, würden wir gleichzeitig beweisen, dass das Axiomensystem widerspruchsvoll ist.
viele Grüße
SpockGeiger
PS: Ein recht gutes populärwissenschaftliches Buch, dass die Hintergründe erläutert, ist "Gödel, Escher, Bach" |
Axiom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 14:47: |
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Hallo Spockgeier,
das klingt in der Tat äußerst interessant. Nur wieso sind Axiome beweisbar, wenn man aus ihnen andere Aussagen herleiten bzw. beweisen kann? Dann ist doch die Voraussetzung, daß die Axiome gelten. Voraussetzung ist also die Gültigkeit der Axiome, oder?
Wieso folgt aus der Widerspruchsfreiheit gleichzeitig, dass das Axiomensystem widerspruchsvoll ist?
Ich halt mal nach dem Buch Ausschau! Danke für den Tip!
Gruß
Axiom |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 510
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 15:56: |
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Hallo Axiom
Du sagst es doch selbst. Das Axiomensystem besagt implizit, dass die Axiome selten, also sind sie in diesem System beweisbar. Um das nochmal zu ilustieren, ein formaler Beweis ist:
Axiom_1 (logisches) UND...UND Axiom_n=>...=>...=>(erlaubte Folgerungen)=>...=>zu beweisende Aussage.
Um ein Axiom zu beweisen, nimmt man die Folgerungskette, die aus logischen Gründen richtig ist:
Axiom_1 UND...UND Axiom_n=>Axiom_i
Gödel hat doch gezeigt, dass in einem widerspruchsfreien Axiomensystem die Aussage "Dieses Axiomensystem ist widerspruchsfrei" unbeweisbar ist. Würden wir sie beweisen , so wäre nach diesem Satz die Aussage unbeweisbar. Also muss (indirekter Schluss) das Axiomensystem einen Widerspruch enthalten.
viele Grüße
SpockGeiger |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 18:04: |
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Hallo ihr beiden!
SpockGeiger, es ist nicht wahr, was Du da schreibst. Ein Axiom ist ein mathematischer Grundsatz der nicht bewiesen werden kann. Ein mathematisches System lebt von der "Wahrheit" seiner vorausgesetzten Axiome. Die nicht euklidische Geometrie ist ja zum Beispiel entstanden bzw. gibt es nur, weil das Parallelenaxiom ein Axiom ist. Man muß es voraussetzen, weil man es nicht beweisen kann und verzichtet man darauf, entsteht die nicht-euklidische Geometrie. Ebenso wie das Auswahlaxiom etc..
Axiome, Kurt Gödel hat gezeigt, dass ein mathematisches Axiomensystem, dass die natürlichen Zahlen enthält entweder widerspruchsfrei oder vollständig ist, aber niemals beides. Mir ist kein System bekannt das widerspruchsfrei ist. Die meisten sind nicht vollständig und das bedeutet, dass es Aussagen gibt, die nicht bewiesen bzw. widerlegt werden können. Von der Goldbachschen-Vermutung (jede gerade Zahl lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben) weiß man nicht, ob man sie beweisen oder widerlegen kann. Man kann sich also nicht sicher sein, ob es sich lohnt sich daran zu machen es zu beweisen oder zu widerlegen.
Guck mal im Internet unter Gödelscher Unvollständigkeitssatz. Vielleicht findest Du was.
Gruß clara |
Axiom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 19:07: |
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Hallo Spockgeier, hallo Clara,
ich bin jetzt doch etwas verwirrt. Also, Axiome sind Aussagen, deren Wahrheitsgehalt als richtig vorausgesetzt werden (so kenne ich die "Definition" von Axiomen). Mit diesen lassen sich Folgerungen schließen, die gültig sind, unter der Voraussetzung, dass die Axiome gelten. Axiome können dann, wie Clara es sagt, nicht bewiesen werden, höchstens widerlegt?
Dann gibt es Aussagen, die sich aus den Axiomen zwangsläufig ergeben. Diese Aussagen sind dann beweisbar, wenn die Axiome gelten. Hab ich das bis hierhin richtig verstanden?
Wenn man die Richtigkeit von Axiomen voraussetzt, so kann man sie doch nicht beweisen? Braucht man doch nicht, die gelten doch eh (nach Voraussetzung)? Oder nicht? Widersprüche lassen sich jedoch (manchmal) schon zeigen, und dann muß man eventuell das Axiomensystem ändern.
Oder steh ich total auf dem Schlauch?
PS: Gibt es außer der Goldbach-Vermutung andere unbewiesene Sätze? Vielleicht sogar einen Link auf eine Seite, wo einige aufgezählt sind?
Kann man den bei der Goldbach-Vermutung nicht zeigen, dass dies eine nichtbeweisbare Aussage ist? Gibt es dazu noch keine Ansätze/Ideen?
So, such dann mal nach dem Unvollständigkeitssatz!
Gruß
Axiom |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 511
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 01:56: |
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Hi
Wenn ein Axiom als vorausgesetzt angenommen wird (wie das bei "Axiomen" üblich ist), ist es eine Tatsache, und zwar eine beweisbare, denn es folgt aus sich selbst. Wir sprechen von in sich abgeschlossenen logischen Systemen. In diesen sind alle Aussagen wahr, die sich aus den Axiomen ableiten lassen (die ja als richtig vorausgesetzt werden). Und da sich die Axiome aus sich selbst ableiten lassen, sind sie beweisbare Aussagen (in ihrem Axiomensystem!!).
Ungelöste Probleme gibt es genug, versuch's mal mit "Millenium Problems", da stehen die zehn oder sieben bekanntesten.
viele Grüße
SpockGeiger |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 09:15: |
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Hi,
Spockgeiger, ich bleibe dabei. Ein Axiom kann nicht bewiesen werden. Zu sagen, es ist wahr, weil es als wahr vorausgesetzt wird, ist richtig, aber das ist kein Beweis. Wenn man auch nur ein Axiom beweisen kann aus den anderen Axiomen, erfüllt das axiomatische System nicht die Voraussetzung der Minimalität. Der einzige Fall, wo man Axiome beweist ist der, wenn Axiome Äquivalent zueinander sind. So ist ja z.B. das Vollständigkeitsaxiom äquivalent zum Supremumsprinzip. Oder das Auswahlaxiom zum Lemma von Zorn.
Früher, in den Anfängen der Mathematik waren Axiome Aussagen die als unmittelbar klar angesehen wurden und keinen Beweis bedurften. Aber das ist heute eben anders.
Meiner Meinung nach hat "Axiom" recht, allerdings kann man Axiome nicht widerlegen. Das wäre ein Widerspruch in sich, da sie als wahr vorausgesetzt werden. Jeder Widerspruchsbeweis beruht ja darauf, dass man eine Aussage folgert, die einen Widerspruch zu den Axiomen zur Folge hat.
Widersprüche hat es früher in den Systemen gegeben. So zum Beispiel in der Mengenlehre von Cantor um 1900. Er hat ja Mengen so definiert, dass es zulässig war die Menge aller Mengen zu definieren, die sich nicht selbst enthalten und die Frage, ob sich diese Menge selbst enthält führt zu einem Widerspruch, denn sie kann sich nicht selbst enthalten und dann muß sie sich selbst enthalten. Das sind die sogenannten Antinomien. Dadurch wurde eine Grundlagenkrise in der Mathematik ausgelöst. Hilbert hatte den Traum, dass man eine mathematisches System aufbauen kann, das Widerspruchsfrei und Vollständig ist, aber leider hat Gödel diesen Traum zerstört. Viel schlimmer ist aber, das die Mathematik nicht sicher sein kann, ob nicht doch noch mal irgendwann Antinomien auftreten können und das System zusammenbricht. Das bezieht sich allerdings auf Systeme die mit Unendlichkeit rechnen. Deswegen gibt es auch noch Mathematiker (Intuitionisten bzw. Konstruktivisten) die einige Dinge einfach ablehnen, wie zum Beispiel das tertium non datur (Prinzip des ausgeschlossenen Dritten), wenn es sich auf eine Unendliche Gesamtheit bezieht.
SpockGeiger, ich würde mich überzeugen lassen, wenn Du mir auch nur eine einzige Internetquelle nennen kannst, wo steht, dass Axiome bewiesen werden können.
Unter www.phillex.de/axiom.htm bekommt man einen kleinen Eindruck, was einige Mathematiker unter einem Axiom verstanden haben.
Gruß clara |
Axiom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 10:33: |
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Hallo Clara,
ich meinte nicht, dass man Axiome widerlegen kann. Sondern ich meinte, dass das Axiomensystem falsch ist, wenn sich zwei Axiome selbst widersprechen. Also das 2 Axiome nicht gleichzeitig gelten können, wenn aus dem einen etwas folgert, was dem anderen (oder einer Folgerung des anderen Axioms) widerspricht.
Gruß
Axiom |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 12:28: |
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Hi Axiom,
also meinst Du eigentlich die Widerspruchfreiheit eines mathematischen Systems?
Bis heute hat man in keinem mathematischen System soetwas entdeckt (das was früher mal in der Mengenlehre war, ist beseitigt), aber in bestimmten Gebieten der Mathematik (dort wo mit dem aktual-unendlichen gerechnet wird), kann die klassische Mathematik keine Garantie dafür geben, dass es zu Antinomien kommt.
In der Zeit hat mal ein ziemlich radikalter Artikel dazu gestanden ("Null oder nicht Null?").
Guck mal unter www.zeit.de/2000/21/200021_mathe.html
Hast Du denn jetzt etwas zu Gödel gefunden?
gruß clara |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 512
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 12:33: |
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Hi Clara
Glaub, was Du möchtest.
viele Grüße
SpockGeiger |
Kay Schönberger (kay_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kay_s
Nummer des Beitrags: 80
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 14:50: |
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Hallo,
Ein Beispiel für eine nicht beweisbare Aussage ist die Kontinuumshypothese. Die besagt, daß es keine überabzählbare Menge gibt, deren Mächtigkeit kleiner ist als die der reellen Zahlen.
Außerdem geht man heute davon aus, daß solche nichtbeweisbaren Sätze nur ganz abstrakte Aussagen sein können. Probleme wie das von Goldbach oder die Millennium-Prizes sind dafür viel zu diskret.
Kay S. |
Axiom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Juni, 2002 - 20:18: |
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Hallo Clara,
bisher hatte ich nicht allzuviel Zeit zum suchen.Etwas "laienverständliches" hatte ich bisher noch nicht gefunden. Aber mithilfe eurer Tips finde ich bestimmt noch etwas!!!
Es scheint doch etwas philosophisch zu sein, was Axiome denn genau sind. Ich verstehe Spockgeier schon. Es ist schon logisch, dass ein Axiom sich nicht selbst widersprechen kann. Das hieße dann aber widerrum, dass das Axiom gilt weil es gilt. Und dann ist die Voraussetzung, dass es gilt. Bezüglich des Axiomensystems ist die Aussage also beweisbar, da sie in dem Axiomensystem als wahr befunden wird und somit nicht falsch sein kann (also habt ihr irgendwie beide Recht?). Irgendwie klingt das aber doch paradox. Dann darf ein Mensch stehlen, unter der Voraussetzung, dass er sich ein Axiomensystem schafft, das besagt, dass er stehlen darf (okay, etwas blöd, aber mir fällt kein anderes Beispiel ein). In unserer Gesellschaft darf er das nicht. Wie sagt man so schön: Alles ist relativ.
Aber dabei habe ich die Philosophie:
Niemals die Realität aus den Augen verlieren. Natürlich benötigt man Fantasie und neuartige abstrakte Denkweisen, aber was nützt eine noch so abstrakte Denkweise, wenn sie in unserer Realität keine Anwendung findet?
Ich finde, Axiome sollten realitätsbezogen sein. Kürzlich las ich mal (von einem Todoroff oder so), der "bewies", dass die natürlichen Zahlen endlich sind. Im Prinzip verband er Philosophie mit Mathematik und macht einige fragwürdige mathematische Schlüsse. Er zeigt scheinbare Widersprüche in der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen auf, die aber nur dann Widersprüche sind, wenn sein "Axiomensystem" (also die Endlichkeit der natürlichen Zahlen) gilt. Zunächst ist es doch sehr interessant gewesen, aber als ich las, dass bei ihm die Folge (1+(1/n))^n den Grenzwert 1 besitze, kam ich zu dem Schluss, dass er ein völlig weltfremdes Axiomensystem zugrunde legt, dass in unserer Realität unbrauchbar ist. (Denn man sieht sofort: (1+(1/2))²=2,25 und (1+(1/n))^n ist eine monoton wachsende Folge (man benutze dazu den Taschenrechner oder rechne wie gewohnt; es gibt auch einen Beweis der Analysis). Das einzige, was sein Axiomensystem jetzt noch retten (und realitätsbezogen machen) könnte, wäre die Tatsache, dass die Menschheit schon seit Jahrtausenden falsch rechnet.
Das wage ich aber zu bezweifeln.
Gruß
Axiom
Gruß
Axiom |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Juni, 2002 - 16:03: |
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Hallo Axiom,
die Folge ist eine ganz berühmt in der Mathematik. Ihr Grenzwert ist die Eulersche Zahl e.
Meine Professoren würden mich auslachen, wenn ich sie frage, ob man Axiome beweisen kann. Man muß es wirklich ganz streng unterscheiden, ob man davon spricht, dass eine Aussage wahr ist oder beweisbar. Die Axiome werden als wahr vorausgesetzt und eine Aussage, die sich mit logischen Schlüssen aus diesen Axiomen herleiten läßt, gilt als bewiesen und nennt sich dann Satz, Lemma, Hilfssatz etc. In diesem Sinne sind Axiome also nicht beweisbar.
Gruß clara
P.S. Es wird viel ernsthafte Mathematik betrieben, die keine Anwendung hat. Die meisten Mathematiker fragen auch gar nicht mehr danach, ob es eine Anwendung in der Realität gibt. Sie betreiben Mathematik ihrer selbst Willen. |
Axiom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Juni, 2002 - 22:11: |
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Hallo Clara,
okay, wenn man diese Unterscheidung trifft, ist es schon richtig, das Axiome nicht beweisbar sind (oder meinte Spockgeier etwas anderes?). Aber welches "Axiom" erlaubt es denn, diese Unterscheidung zu treffen?
Deswegen meinte ich: Ansichtssache. Und irgendwie werd ich doch auch etwas philosophisch mit solchen Aussagen, oder? Ich selber vertrete den selben Standpunkt, dass Axiome nicht beweisbar sind, sondern eher eine "in sich selbst logische" Begebenheit.
Es ist mir übrigens bekannt, dass die Folge gegen e konvergiert. Ich habe das 1. Semester kürzlich hinter mir gelassen.(Eigentlich sind das sogar noch Schulkenntnisse, oder?)
Aber was ich mich frage:
Was hat die Mathematik denn für einen Sinn oder Zweck, wenn sie keine Anwendung findet?
Spielt man jetzt einfach mal ein bisschen herum und folgert und folgert ( unter total irrealen oder "uninteressanten" Voraussetzungen)?
Auf der Uni kommt mir auch manches ´merkwürdig´ und überhastet vor (nix für Ungut, liebe Professorinnen und Professoren).
Ich könnte mir auch eine wunderbare Theorie ´zusammenbasteln´, die man noch nicht einmal gebrauchen könnte.
Aber wo ist denn dann der Sinn?
Gruß
Axiom |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 17:05: |
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Hi Axiom,
es ist schon fest vorgeschrieben, was ein Beweis ist. Ganz klar: Ein Axiom ist wahr, weil es als wahr vorausgesetzt wird. Sein Wahrheitsgehalt kann aus nichts gefolgert werden und deswegen sind Axiome nicht beweisbar. (habe mich heute an der Uni sogar noch rückversichert und im übrigen habe ich keinerlei Literatur gefunden, die anderes sagt. Ich habe ja geschrieben, dass ich mich überzeugen lassen würde, wenn ich auch nur eine einzige Quelle hätte, wo steht, dass Axiome beweisbar sind, aber SpockGeiger will mir das ja nicht sagen. Der einzige Fall wo man ein Axiom beweisen kann ist der, wenn Axiome äquivalent zueiander sind, aber das habe ich ja schon geschrieben.)
Ich denke, dass Mathematik oft wirklich nur eine "Spielerei" ist. Mich selbst interessiert die Anwendung in der Realität auch nicht. Warum auch? Wenn man Mathematik betreibt, dann lernt man ja nicht nur Mathematik, sondern man lernt logisches Denken, das wesentliche Erkennen und problemorientiert arbeiten und wenn man in die freie Wirtschaft geht mit einem Diplom sind dies auch in erster Linie die Dinge, die die Unternehmen an einem Diplommathematiker haben wollen. Die Mathematik die man gelernt hat, braucht man meistens nicht mehr.
Gruß clara
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Axiom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 17:52: |
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Hallo Clara,
nochmal zu den Axiomen:
Ich denke, dass es eine Ansicht der Mehrheit der Mathematikern ist, wie du, ich und sonstige die Axiome ansehen. Nur kann man sie ja vielleicht auch anders betrachten?
Dann noch:
Du sagst doch selbst, dass man in der Mathematik logisches Denken und Erkennen von Strukturen lernt. Das meinte ich mit realitätsbezogen.
Oder das man seine Ergebnisse irgendwie nachprüfen können sollte!
Bisher war ich immer der Auffassung, dass man auf der Uni lernen sollte, Zusammenhänge zu erkennen und zu verknüpfen. Diese finden dann doch (z. B. bei Computern) ihre Anwendung (Taylorreihe etc.). Nun ist es ja nicht so, dass man alles nicht gebrauchen kann, was man auf der Uni lernt.
Ich hoffe nur, dass ich es bis zum Diplom durchhalte!
Gruß
Axiom |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 08:42: |
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Hallo Axiom,
man kann Axiome nicht anders betrachten. Meiner Meinung nach ist es einfach quatsch zu sagen, dass Axiome beweisbar sind. In jedem Lexikon in dem Du dieses Wort findest, steht, dass sie nicht beweisbar sind. Axiome sind ja auch nicht generell wahr. Man muss sie als wahr in seinem Axiomensystem voraussetzten und da gibt es schon unterschiede. Es gibt ja eben zum Beispiel einige Mathematiker die das Auswahlaxiom wegen seinen starken Folgen nicht anerkennen.
Wenn ein Axiom beweisbar ist, dann muss man seinen Wahrheitswert in Frage stellen können, denn nur dann ist überhaupt ein Beweis notwendig. Wenn man den Wahrheitswert in Frage stellen kann, dann kann es nicht aus sich selbst heraus wahr sein.
Zu sagen, es ist wahr, weil es wahr ist und deswegen sind sie beweisbar ist ein absoluter Zirkelschluss. Wenn das als Beweis legitim ist, dann könnte man es mit anderen Sätzen ebenso machen oder sich die Frage stellen, woher man wissen soll, das so eine Argumentation in bestimmten Fällen ein Beweis ist und in anderen nicht.
Wenn man Axiome beweisen kann, aus welchen Aussagen soll man sie folgern? Wo soll man mit der Mathematik beginnen?
Ich vage die Behauptung, dass Du nicht einen einzigen Matheprof finden wirst, der Dir sagt, dass Axiome beweisbar sind bzw. dass man es sehen kann, wie man will.
Gruß clara
PS: Ich weiß ja nicht genau, wie Du das mit dem durchhalten gemeint hast, aber im allgemeinen sind die ersten beiden Semester die schwersten und wenn man die überstanden hat, schafft man auch das Studium. |
Axiom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 10:59: |
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Hallo Clara,
also ehrlich gesagt finde ich es schade, dass sich Spockgeier nicht weiter um die Diskussion gekümmert hat.Vielleicht hätte er noch ein paar Argumente bringen können.
Also Axiome als wahr vorauszusetzen macht Sinn. Mit deiner Argumentation sind sie dann nicht beweisbar. Das ist mir dann klar.
Es gibt doch irgendwelche Axiome über die natürlichen Zahlen:
i) 1 ist eine nat. Zahl
ii) jede natürliche Zahl hat genau einen Vorgänger und einen Nachfolger, außer die 1, die hat keinen Vorgänger (aber genau einen Nachfolger)
...
Das sind doch "offensichtliche" Axiome. Jetzt zu behaupten:
Nicht jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger (was z.B. bei der Endlichkeit der natürlichen Zahlen so wäre) widerspricht meiner Meinung nach der mathematischen Realität.
Natürlich kann man dennoch dieses Axiomensystem benutzen. Aber ob das Axiomensystem dann brauchbar ist? Ich weiß es nicht!
Vielleicht frage ich mal einen unserer Profs dazu. Aber im wesentlichen stimmen unsere Ansichten überein. Ich zweifle nur den Nutzen eines "irrealen" Axiomensystems an; nicht, dass man es nicht benutzen kann (bzw. darf).
Ich habe das mit dem Durchhalten folgendermaßen gemeint:
In der Schule konnte man immer so schön mit "Gegebenheiten" der reellen Zahlen etc. argumentieren. Auf der Uni müssen diese Gegebenheiten bis ins kleinste Detail bewiesen werden. Deshalb weiß ich bei einigen Aufgaben nie, wann ich denn nun endlich mal mit meinem Beweis fertig bin. Andere Aufgaben finde ich so offensichtlich, dass ich gar keine Idee finde, wie ich denn nun mit dem Beweis anfangen soll. Weil ich manche Sachen so offensichtlich finde, habe ich mich auch nicht immer um den Inhalt der Sätze gekümmert. Jetzt werden diese aber immer häufiger verknüpft, und ich habe Schwierigkeiten, einem Beweis zu folgen, der dann 5 Hilflemmata, 7 Sätze, 3 Definitionen und 2 Übungsaufgaben benutzt. Im wesentlichen verstehe ich die Aussagen, nur bin ich immer vorschnell mit meinen Beweisideen oder finde erst gar keine. Wenn ich mich dann 5-6 Stunden hinsetze und suche, kriege ich meistens auch ein vernünftiges Übungsblatt zusammen. Nur finde ich diese Methode etwas mühevoll.
Aber ich hoffe, du behältst Recht und wenn ich das 2e Semester hinter mir habe, klappt es besser.
Gruß
Axiom |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 14:08: |
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Hi Axiom,
über die Axiome von oben und noch zwei weiteren kann man die natürlichen Zahlen definieren. Ob das unserer Vorstellung der natürlichen Zahlen entspricht ist eine andere. Ich kenne die natürlichen Zahlen als Schnitt aller existierender induktiver Mengen (eine induktive Menge ist eine Menge die die 1 enthält und mit ihr jeden Nachfolger).
Wenn man nun sagt, dass nicht jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat, bekommt der Begriff der natürlichen Zahl einfach eine andere Bedeutung. Natürlich kann es nicht mehr das sein, was wir uns für gewöhnlich darunter vorstellen.
Klar gibt es Axiome die offensichtlich sind, aber auch gerade deswegen sind sie nicht beweisbar.
Bei den Ü-Aufgaben musst Du einfach nur daran denken, dass Du nur das benutzen darfst und weisst, was in der Vorlesung steht.
Ich finde es auch schade, dass sich sonst keiner zu den Axiomen äußert.
gruß clara |
Axiom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 16:36: |
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Hallo Clara,
das ist ja mein Problem. Ich habe immer Beweisideen, nur einen neuen Beweis zu konstruieren, der nur das aus der Vorlesung bekannte benutzt, ist schon irgendwie schwer. Dann muss man manchmal seinen eigentlichen Beweis komplett verwerfen und dann versuchen, einen neuen mit den bekannten Mitteln zu konstruieren. Aber vielleicht gehört das ja auch zur Aufgabe der Uni:
Mehrere Wege zu finden, die das selbe Ziel haben.
Na, vielleicht zweifelt ja doch nur einer an unseren Aussagen über die Axiome und meldet sich zu Wort. Bin gespannt!
Gruß
Axiom |
Axiom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 16:38: |
|
Noch ne kleine Frage:
Aus deiner Definition der natürlichen Zahlen folgt doch direkt das Induktionsprinzip (bzw. Induktionsbeweis).
Oder?
Gruß
Axiom |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 17:07: |
|
Hi Axiom,
ja das tut es. Nach der Definition sind die natürlichen Zahlen in jeder induktiven Menge enthalten und wenn man nun von einer Teilmenge der natürlichen Zahlen zeigt (also zum Beispiel bei Summen, sich die Menge M als derjenigen natürlichen Zahlen definiert, deren Summe diesen Wert hat), das sie induktiv ist, dann muss M die Menge der natürlichen Zahlen gewesen sein.
Beweise so zu führen (nur mit Mitteln der VL) ist ja auch was ganz tolles. Dabei lernt man, Probleme nur mit den vorgegebenen Mitteln zu lösen.
gruß clara |
Axiom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 19:15: |
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Hallo Clara,
Danke, hatte ich mir genauso gedacht. Ich werde es weiter versuchen. Vielleicht blicke ich eines Tages zurück und frage mich, warum ich bei manchen Aufgaben solche Schwierigkeiten hatte. In der Schule war es genau so. Heute finde ich die meisten Schulaufgaben total simpel, während der Schulzeit hatte ich mit einigen Probleme.Nur konnte man sich in der Schule immer schnell einiges an Beispielen klarmachen, während das an der Uni nicht praktiziert wird, sondern lieber andere Sätze und Beweise herangezogen werden. Am schnellsten kann ich einen Beweis konstruieren, wenn ich anhand eines Beispiels die Schritte nachvollziehen kann. Obwohl sich das mittlerweile auch geändert hat. Viele Beweise für Sätze, die ich vorher immer erst durch ausprobieren konstruiert hätte, kann ich mittlerweile aus Sätzen etc. konstruieren. Das merkwürdige ist nur, ein Beweis nachzuvollziehen macht mir eigentlich weniger Probleme, wenn jemand vorne steht und etwas dazu sagt. Wenn ich dasselbe lese, werde ich an gewissen Punkten immer kritisch.
Naja, ich habe mir ja auch nicht gerade das leichteste Studienfach ausgesucht.
Aber ich gebe nicht auf!!!
Gruß
Axiom |
Guest
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. August, 2002 - 13:46: |
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Auch wenn diese Diskussion ja schon ziemlich abgeschlossen zu sein scheint, noch einmal mein Senf dazu:
Also: eine Aussage ist beweisbar, wenn sie aus den Axiomen folgt.
Wenn meine Axiome beispielsweise A_0 und A_1 sind, dann ist die Aussage
A_0 und A_1
beweisbar.
Aber dann ist selbstverständlich auch A_0 selbst beweisbar. Nur ist das dann halt ein Einzeilenbeiweis, weil A_0 direkt aus sich selbst folgt.
Wenn man also ein Axiomensystem voraussetzt, dann ist natürlich jedes dieser Axiome beweisbar, weil es aus sich selbst folgt.
Was Ihr wahrscheinlich gemeint habt, war, dass ein Axiom nicht aus einem anderen folgen sollte. Also wenn man A_0 aus A_1 folgern könnte, dann wäre das System unsinnig, weil man dann A_0 nicht bräuchte. |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. August, 2002 - 18:10: |
|
Hi Guest,
ich bleibe dabei. Ein Axiom ist nicht beweisbar.
Wenn doch, dann dürfte ich ja sagen:
Ich habe das Auswahlaxiom bewiesen.
Zu sagen, es ist wahr, weil es als wahr angenommen wird, ist ja o.k., aber zu sagen, dass das ein Beweis ist, ist falsch.
Albrecht Beutelspacher schreibt etwa in seiner ersten Ausgabe des Buches "In Mathe war ich immer schlecht..." auf Seite 5:
"...Die Gültigkeit der Axiome kann nicht mehr mathematisch bewiesen werden..."
und das Widerspricht doch Deinen Ausführungen.
Es würde mich aber brennend interessieren in welchem mathematischen Buch man lesen kann, dass ein Axiom beweisbar ist.
gruß clara |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1300
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. August, 2002 - 01:56: |
|
Hi clara und alle,
ist alles eine Sache der Betrachtungsweise. Was heißt überhaupt "beweisen"?
Wenn du dir z. B. die Peano-Axiome der natürlichen Zahlen ansiehst, dann kann man die kaum "beweisen" - stattdessen werden sie als Grundstock für alles andere, was die natürlichen Zahlen betrifft, vorausgesetzt.
Wenn man hingegen "Mathematische Logik" betreibt, so wird ein Axiomensystem vorausgesetzt. Alles, was aus diesen Axiomen hergeleitet werden kann, nennt man dann "beweisbar". Insbesondere ist dann natürlich jedes der Axiome "beweisbar". Wäre ja auch schlimm, wenn das Gegenteil beweisbar wäre ... ;-) |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. August, 2002 - 14:05: |
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Hi,
würde mich echt freuen, wenn einer von Euch mal bei Euren Profs. nachfragt, ob da auch einer dabei ist, der sagt, Axiome darf man beweisbar nennen.
Selbst die Peano-Axiome können bewiesen werden, wenn man das Fundament tiefer setzt. Aber wenn man sich einmal darauf festgelegt hat bestimmte Axiome an den Anfang zu stellen, dann sind diese Axiome nicht beweisbar, aber natürlich auch nicht das Gegenteil.
Für mich erst ein Beweis erst dann nötig, wenn man fragen darf: "Warum ist das wahr?" Diese Frage macht aber bei den Axiomen überhaupt keinen Sinn, weil ihr Wahrheitswert gar nicht in Frage gestellt werden darf.
Der Heuser schreibt zum Beispiel in seiner Analysis I auf Seite 13 dazu:
"...Dieses Verfahren, an den Anfang einer Theorie einige Grundsätze, sogenannte Axiome, zu stellen (die man nicht mehr diskutiert, nicht mehr "hinterfragt", sondern einfach hinnimmt) und aus ihnen durch logisches Schließen (durch Deduktion) den ganzen Aussagebestand der Theorie zu gewinnen, nennt man die axiomatische oder deduktive Methode..."
Warum nimmt denn keiner von Euch die anderer Meinung sind, Stellung zu den Literaturquellen? Irren sich den jetzt sowohl der Heuser als auch der Beutelspacher? Und warum kann mir keiner von Euch eine Literaturquelle nennen in der steht, dass Axiome bewiesen werden können?
Ich werde mal ein paar Profs fragen.
gruß clara |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1302
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. August, 2002 - 01:07: |
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@clara: Hast du meinen Beitrag gelesen?
Z. |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. August, 2002 - 12:52: |
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Hi Zaph,
ja habe ich. Du meinst:
Sei das Axiom A in diesem System wahr.
Beh.: Axiom A ist wahr.
Beweis: Gilt nach Voraussetzung.
Ergo: Axiome kann man beweisen.
Ich meine: Obiges nennt sich in der Mathematik nicht Beweis.
clara |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1303
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. August, 2002 - 00:52: |
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Doch, so ähnlich meinte ich es, und Guest wohl auch. Obwohl man es dann i. A. nicht "beweisen" sondern "herleiten" nennt.
Es gibt eine Reihe von Regeln, wie aus bereits hergeleiteten Aussagen neue Aussagen hergeleitet werden können. Z. B. wenn Aussage "A" und "A => B" hegeleitet sind, dann kann auch Aussage "B" hergeleitet werden. Die "Herleitung" entspricht der Formalisierung eines mathematischen Beweises.
Sozusagen als Induktionsvoraussetzung setzt man dann alle Axiome als "herleitbar" voraus.
Dabei ist aber noch überhaupt nichts über die "Modelle" gesagt, d. h. diejenigen Dinger, die die Axiome beschreiben sollen.
Wir alle sind uns darüber einig, dass die natürlichen Zahlen existieren. Was immer das sein mag ...
Die Peano-Axiome gelten sicherlich für die natürlichen Zahlen - sie sind "gültig", obwohl man das nicht "beweisen" kann. Und in den natürlichen Zahlen gelten dann auch alle Aussagen, die aus den Axiomen hergeleitet werden können (inklusive der Axiome).
Tja, und Gödel sagt nun, dass, solange man sich nur endlich viele (widerspruchsfreie) Axiome für die natürlichen Zahlen gönnt, es immer gültige Aussagen gibt, die nicht herleitbar ("beweisbar") sind.
Hoffe, die Verwirrung jetzt nicht komplett gemacht zu haben ;-)
Z. |
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