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Beitrag |
    
Tiffany (t_l)
Mitglied
Benutzername: t_l
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juni, 2002 - 17:54: | 
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HI!
Gegeben sei ein Dreieck mit Seiten a=4, b=5, c=6 (siehe Bild, grün).
Durch das Dreieck ist eindeutig ein Kreis bestimmt, der alle Eckpunkte des Dreiecks enthält (Umkreis).
Durch jeden Eckpunkt verläuft eine Senkrechte (blau) zur gegenüberliegenden Seite, die den Kreis in einem zweiten Punkt schneidet. Durch alle drei Schnittpunkte entsteht ein Dreieck (rot).
Aufgabe: Man bestimme die Seitenlängen und den Flächeninhalt des entstandenen Dreiecks!
Geometrie war leider nie mein Stärke...
Tiffany |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 259
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 08:36: |
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Tiffany :
Hier ein paar Hinweise zu dieser netten
Aufgabe :
Bezeichnungen : A,B,C : Ecken des Originaldreiecks. Höhe durch A treffe den
Umkreis in A' etc., a' := B'C', etc., R := Umkreisradius.
Mit A,B,C etc. werden auch die entsprechenden Innenwinkel bezeichnet.
w (PQR) bedeute Winkelmasszahl von
Winkel PQR..
Nun gilt (Peripheriewinkelsatz !)
w(AA'B') = w(ABB') , w(AA'C') = w(ACC')
ferner (rechtwinklige Dreiecke !).
w(ABB') = pi/2 - A = w(ACC')
somit A' = pi - 2A , analog für B', C'.
Nach dem Sinussatz ist nun
a' = 2 R sin(pi - 2A) = 2 R sin(2A)
= 4 R cos(A) sin(A) = 2 a cos(A).
A kann man noch mittels Kosinusatz eliminieren:
cos(A) = (b^2+c^2-a^2)/(2bc)
mfg
Orion
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