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Tanja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juni, 2002 - 17:00: | 
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Hi Leute,
ich benötige mal wieder eure Hilfe. Es gibt da eine Aufgabe, die mir wirklich Kopfzerbrechen bereitet, dabei soll sie gar nicht so schwierig sein:
Es sei f:R nach C eine stetige Funktion, die den folgenden drei Eigenschaften genüge:
1) Betrag f sei uneigentlich intbar über R. Folgern Sie hieraus: Die Fourier-Transformierte
f°:R nach C, f°(t):=1/(2pi)*Integral(-unendl. bis +unendl.):f(x)*e^(-itx) dx (t aus R) ist sinnvoll.
2) Die Reihe Summe(k= -unendl. bis +unendl.):Betrag(f°(k))sei konvergent.
3) Die Reihe F(x):=Summe(k= -unendl. bis +unendl.):f(x+2pik) konvergiere gleichmäßig auf [0,2pi].
Zeigen Sie: Die Funktion F ist stetig, 2pi- periodisch und besitzt die Fourier- Entwicklung F(x)= Summe(k= -unendl. bis +unendl.):f°(k)*e^(ikx) (x aus R)
Insbesondere gilt die sog. Poissonsche Summenformel: Summe(k= -unendl. bis +unendl.):
f(2pik) = Summe(k= -unendl. bis +unendl.)f°(k)
2. Aufgabe: Zu zeigen: Unter der ersten Voraussetzung ist die Funktion f° stetig.
3. Aufgabe: Wenden Sie 1 und 2 an auf die Funktion f(x):=e^(-a*Betrag(x)) (x aus R;a>0 fest), und folgern Sie die Partialbruchzerlegung der Funktion coth x:= (cosh x)/(sinh x) (x != 0(ungleich)):
pi*coth(pi*a)=1/a +Summe(k=1 bis unendl.) 2a)/(a^2 + k^2) (a aus R ohne 0)
So, das war jetzt eine ganze Menge auf einmal. Es wäre schön, wenn mir wenigstens jemand den ersten Teil erklären könnte. Das wäre schon echt klasse. |
Tanja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 06:24: |
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Hilfe! Ich komme einfach nicht weiter... |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 266
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 09:26: |
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Tanja :
Hier in aller Eile ein paar Hinweise :
Wegen |e^(-itx)| = 1 gilt für beliebige r,R in IR
| int[-r...R] f(x)*e^(-itx)dx |
=< int[-r...R] |f(x)|dx < int[-oo...+oo] |f(x)|dx < oo
somit existiert f^o(t) für alle t in IR.
Wegen der gleichmässigen Konvergenz
von sum f(x+2pik) ist F (x) stetig. Ferner
ist F(x+2pi) = F(x) evident.
Die Fourierkoeffizienten von F lauten
c(n) = (1/2pi)*int[0...2pi]F(x)*e^(-inx)dx.
Setze die Reihe für F(x) ein und vertausche
Summe und Integral (wegen der gleichmässigen Konvergenz ist dies erlaubt).
Im Integral substituiere jeweils x+2kpi = u
==> dx = du , 2kpi =< u =< 2(k+1)pi
==> c(n) = (1/2pi)*sum[k=-oo,...oo]
int[2kpi...2(k+1)pi]f(u)*e^(-inu)du
= (1/2pi)*int[-oo...+oo]f(u)*e^(-inu)du
= f^o(n).
Also
F(x) = sum[n=-oo...+oo] f^0(n)*e^(inx).
Speziell für x=0 erhält man die Poisson'sche
Summenformel.
2. Aufgabe: Da muss man einfach ein wenig rechnen !
mfg
Orion |
Tanja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 12:44: |
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Hallo Orion!
Danke für Deine Hinweise, ich glaube, jetzt werde ich zumindest den ersten Teil bewältigen können. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 267
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 13:32: |
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Tanja :
Die. 2. Aufgabe ist einfach :
f^o(k) =
(1/2pi)*int[-oo...+oo]exp(-a|x|-ikx)dx.
Zerlege in int[0...oo] + int[-oo...0]
Im 2.. Integral gehe zur Variablen -x über
und fasse beide Integrale wieder zusammen :
f^o(k) = (1/pi)*int[0...oo]e^(-ax)*cos(kx)dx
= (a/pi)/(a^2+k^2).
Ferner
F(0) = sum[k=-oo...+oo]e^(-2pika)
Zerlege in 1 + sum[k=1...oo] + sum[k=-1...-oo]
In der 2. Summe wechsle von k zu -k und
fasse wieder zusammen. Die entstehende
geometrische Reihe ist leicht aufzusummieren. So entsteht
F(0) = coth(pi*a).
mfg
Orion |
peti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Juni, 2002 - 18:25: |
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Hallo Orion,
danke für deine Lösung, aber ich hätte da noch ein paar Nachfragen:
1)Woher weiß man |e^(-itx)| = 1?
2)c(n) = (1/2pi)*sum[k=-oo,...oo]
int[2kpi...2(k+1)pi]f(u)*e^(-inu)du
= (1/2pi)*int[-oo...+oo]f(u)*e^(-inu)du
Könntest du mir den Schritt nochmal erkären?Warum kannst du die Summe einfach "weglassen"?
3)Kannst du mir vielleicht auch noch diesen SChritt erklären?
f^o(k) =
(1/2pi)*int[-oo...+oo]exp(-a|x|-ikx)dx.
Zerlege in int[0...oo] + int[-oo...0]
Im 2.. Integral gehe zur Variablen -x über
und fasse beide Integrale wieder zusammen :
f^o(k) = (1/pi)*int[0...oo]e^(-ax)*cos(kx)dx
= (a/pi)/(a^2+k^2).
besonders das letzte...
Vielen DAnk |
Tanja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Juni, 2002 - 18:57: |
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Vielen Dank auch für die weiteren Hilfen, hat mir sehr geholfen. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 269
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 07:21: |
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peti :
1) Komplexe Exponentialfunktion !
e^iu = cos(u)+i*sin(u) ==> | e^iu | = 1 ; u in IR.
2) Die Summe wird nicht "weggelassen",
sondern die Summe für k=-oo bis k=+oo der einzelnen Integrale
über [2k*pi ... 2(k+1)*pi] ist gleich dem
Integral über ]-oo...+oo[ (Intervalladditivität !)
3) e^(ikx) + e^(-ikx) = 2*cos(kx).
int(e^(-ax) cos(kx) dx =
e^(-ax)*{k sin(kx) - a cos(kx)}/(a^2+k^2)
(nachrechnen !).
mfg
Orion |
peti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 18:20: |
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Hallo Orion,
danke für deine Erklärungen.Das mit der Exponentialfunktion konnte ich nachvollziehen und 2) wird wohl auch stimmen
aber das dritte habe ich versucht nachzurechnen, komme allerdings nicht auf den Nenner , weil mir auch ein bißchen unklar ist, was du mit den Grenzen machst...
Ich habe die Stammfkt.gebildet, und müsste dann die Grenzen oo und 0 einsetzen.Richtig?
Vielleicht stell ich mich ja auch zu doof an...
Viele Grüße |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 272
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 07:19: |
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peti :
Dass das angegebene unbestimmte Integral
korrekt ist, müsstest du durch Ableiten nachprüfen. Man erhält es übrigens durch
2-malige partielle Integration, das solltest du
zur Uebung auch einmal rechnen, dann
wirst du verstehen, wieso der Nenner a^2+k^2
im Ergebnis erscheint. Natürlich musst du
dann noch die Grenzen oo und 0 einsetzen,
wobei wegen des Faktors e^(-ax) klar ist, dass
für x ->oo Null herauskommt.
Bemerkung: Deine Fragen (es macht mir nichts aus, sie zu beantworten) betreffen
sonderbarerweise lauter Sachverhalte, welche definitiv in der Anfängervorlesung
über Analysis abzuhandeln wären. Das Thema Fouriertransformation etc. käme doch
erst um einiges später an die Reihe ?
mfg
Orion
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peti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 16:02: |
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Hab es jetzt auch rausbekommen.
Doch ist noch aus Analysis 1 und ne Zusatzaufgabe.
Danke nochmal
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