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Beitrag |
    
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 248
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 18:07: | 
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Hi!
Hab mal eine Frage zu Umformungen mit Scherungs- und Streckungsmatrizen. Man kann dadurch ja eine Matrix auf eine Blockmatrix folgender Form bringen:
1nxn 0
0 0
Da kann man dann ganz leicht den Rang ablesen. Bis dahin hab ich ja noch alles soweit verstanden, aber wenn ich eine gegebene Matrix jetzt mit Elementarmatrizen umforme, dann habe ich da keine richtige Methode. Ich kriege das zwar nach ner Weile hin, aber das is voll viel Schreibarbeit. Gibts da also irgendwelche Methoden nach denen man das machen kann??
Bsp:
2 1 0 1
1 0 1 2
0 1 2 3
1 2 3 4
Hier bekomme ich als Rang 4 raus, aber erst nach 10-15Umformungsschritten...das geht doch sicher einfacher oder?
MfG
C. Schmidt |
poser
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 02:52: |
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man sagt dazu gaussalgorithmus .
Ich wähle dfür dann immer die spaltenumformung.
Methode ist folgende:
man schreibt die matrix auf und direkt darunter die einheitsmatrix. alle umformungen, die man oben durchführt , fürht man auch unten durch.
2 1 0 1 ich will jetzt die unterste Zeile
0 0 1 2 "nullen, dass heisst ich muss zur
0 1 2 3 2. spalte 2mal die erste abziehen
1 2 3 4 3.spalte 3mal die erste
-------- => 4.spalte 4mal die erste.
1 0 0 0 Da ich mit der 1 an der vierten stelle
0 1 0 0 der ersten spalte arbeite , kreise ich
0 0 1 0 mir diese auf dem papier ein, auch bei
0 0 0 1 jedem weiteren schritt
2 -3 -6 -7
1 -2 -2 -2
0 1 2 3
1 0 0 0
=> ------------------
1 -2 -3 -4
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2 -3 0 2
1 -2 2 4
0 1 0 0
1 0 0 0
=> ------------------
1 -2 1 2
0 1 -2 -3
0 0 1 0
0 0 0 1
2 -3 0 2
0 0 2 0
0 1 0 0
1 0 0 0
=> ----------------
0,5 -1 1 0
1 -1 -2 1
-0,5 1 1 -2
0 0 0 1
der letzte schritt ist glaub ich offensichtlich
( letzte spalte bearbeiten und dann die beiden letzten durch zwei teilen und du bist bei der gesuchten einfachen matrix )
grüsse
BÄN
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 06:40: |
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Hi ihr 2,
das ganze kann man doch auch mit elem. Zeilenumformungen machen, oder , dann schreibt man die Elementarmatrix rechts neben die Ursprungsmatrix und verfährt dann wie du BÄN, aber kommt dann nicht die Invertierte Matrix zur Ursprungsmatrix raus? Oder ist das gewohlt? Zu was braucht man die?
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poser
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 11:59: |
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HI erstmal ist es richtig , das ganze auch für zeilenumformungen durchzuführen. man müsste auf jeden fall auf das gleiche hinkommen. Da Matrizenumformungen aber immer lästig sind, auch wenn es nur 4-5 schritte sind, verzeiht mir das ich das jetzt mal nicht überprüfe.
Wichtig ist der rang zum beispiel dafür, das man aus ihm einige eigenschafften der dahinter steckenden abbildung erkennen kann.Es gilt :
dim(V)=dim(A)+dim(ker(A))
also die dimension des ursprünglixchen vektorraumes ist die dimension der Matrix, also der rang + die dimension des Kerns also aller v aus V die auf = geworfen werden.
Man kann dann auch sehr leicht die das bild und den Kern erzeugenden Vektoren ablesen, daher mache ich Spaltenumformungen.
denn die direkt darunter liegenden Spaltenvektoren geben ja die linearkombinationen an, mit der man über A den darüberliegenden Vektor erhält.
bEI DEM bSP OBEN SIEHT MAN ; DAS DER kern die dim 0 hat , somit die matrix A den rang 4 hat.
das ganze problem bei Matrizen, deren rang kleiner ist als die dimension von V ( für abbildungen von V nach V ) , dass sie nicht invertierbar sind, da eine Zeile oder spalte wegfällt, wodurch es ein wenig schwer wird , die Einheitsmatix über Zeilen oder Spaltenoperationen zu erzeugen ( ich glaube die Determinante ist dann auch 0).
ausserdem funktioniert das ganze verfahren auch dann noch, wenn die abbildung von V nach W geht und dimV ungleich dimW
grüsse und tschöss
BÄN |
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