    
Ingo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 14:23: | 
|
Hallo Leute!
Ich habe da einige interessante Aufgaben aus der Linearen Algebra 2. Sieht auf den ersten Blick ziehmlich übel aus. Wer kann mir dabei weiterhelfen?!
1) Man betrachte 2 endlich dimensionale K-VR V1 und V2 mit Endomorphismen fi: Vi nach Vi (i= 1,2) jeweils als K[T]-Moduln unter f1 bzw. f2 und zeige: V1 und V2 sind genau dann als K[T]- Moduln isomorph, wenn es einen K-Vektorraumisomorphismus g:V1 nach V2 gibt mit
g°f1 = f2°g.
2)Es sei V ein endlich dimensionaler K-VR mit einem Endom. f:V nach V und U Teilmenge von V ein f-invarianter Unterraum. Man zeige:
a)f induziert einen Endomorphismus
f´:V/U nach V/U
b)Es gilt pf´teilt pf für die Minimalpolynome pf´von f´und pf von f.
c)Es gilt Xf = X(f beschränkt auf U) * Xf´ für die Charakteristischen Polynome Xf von f,
X(f beschr. auf U) und Xf´von f´.
3)Es sei V ein endlich dimensionaler K-VR mit einem Endomorphismus f:V nach V. Das Minimalpolynom pf sei Potenz eines Primpolynoms p aus K[T], etwa pf = p^r mit r>0. Man zeige:
a)Es existiert ein Vektor u aus V mit
p^(r-1)(f)(u)!=0 (ungleich Null)
b)Ist u aus V wie in a) und ist U Teilmenge V der von u erzeugte f- zyklische Unterraum, so existeirt ein f- invarianter Untervektorraum U´ Teilmenge V mit V= Direkte Summe von U und U´. |
