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Beitrag |
    
KathrinStemmler
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 09:19: | 
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Hallo!
Kann mir jemand zeigen, wie ich folgende Aufgabe löse?
Die reele oder komplexe Zahlenfolge (Xn) erfülle folgende Bedingung (B):
Es gibt ein q E [0,1[, ein C E R (relle Zahlen), C>0, und ein N E N (natürliche Zahlen), so dass für alle n E N (natürliche Zahlen) mit n >= N gilt:
(B)
|Xn+1 - Xn| <= Cq^n
Wäre echt klasse, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte!
Viele Grüße und besten Dank von Kathrin |
KathrinStemmler
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 10:41: |
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Hallo
Ich muss die Aufgabe bis heut abend haben, kann mir bitte jemand zeigen wies geht?
BITTE Kathrin |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 261
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 14:24: |
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Kathrin :
Für beliebige n , k in IN gilt
| x(n+k) - x(n) | =
| x(n+k) - x(n+k-1) + x(n+k-1) - x(n+k-2) + ... +
x(n+1) - x(n)|.
Nach der Dreiecksungleichung ist dies
=< |x(n+k)-x(n+k-1)| + |x(n+k-1)-x(n+k-2)| +...+
|n(n+1)-x(n)|.
Schätzt man jeden dieser k-1 Summanden gemäss (B) ab, so hat man
|x(n+k}-x{n}| =< C*{q^(n+k-1)+...+q^n}
= C*q^n*(1-q^k)/(1-q) (geometrische Reihe !)
=< (C/(1-q)*q^n.
Wegen 0 =<q < 1 ist lim[n->oo]q^n = 0,
d.h.: Zu gegebenem eps > 0 gibt es N in IN
sodass |x(n+k)-x(n)| < eps für alle n > N.
Die Folge (x(n)) ist somit eine Cauchyfolge,
also (Vollständigkeit vin IR !) konvergent.
mfg
Orion |
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