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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 210
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juni, 2002 - 16:57: | 
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wie löst man diese differentialgleichung:
y''-a*b/y^2=0 a,b eR
MfG Theo |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 251
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juni, 2002 - 17:51: |
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Hallo :
Hinweis: Erweitere die Dgl. mit y', dann
lautet sie
(1/2)(y'^2)' + ab(1/y)' = 0 .
Das erlaubt eine erste Integration:
y'^2 + 2ab/y = C_1
<==>
y' = ± sqrt(C_1 - 2ab/y)
<==>
± dy/sqrt(C_1 - 2ab/y) = dx.
Das lässt sich elementar integrieren, so
erhält man die Lösung in impliziter Form.
mfg
Orion
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s_oeht
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juni, 2002 - 22:37: |
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vielen dank für deine hilfe
mit dem erwitern ist wirklich ne coole idee
siehst du zufällig noch ne möglichkeit, wie man die explizite lösung erhalten könnte?
oder ist das nicht möglich ?
MfG theo |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 253
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 14:49: |
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theo :
Nach Integration meiner letzten Formelzeile
haben wir
x = F(y)
wobei F(y) eine Stammfunktion von
f(y):= ± sqrt[y/(C_1*y-2ab)]
= ± y /w mit w = w(y) := sqrt(C_1*y^2-2ab*y)
Nun ist (rechne nach !)
y/w = (1/C_1)*{w'(y) + ab/w(y)},
d.h.
F(y) = (1/C_1)*{w (y) + ab*int(1/w)dy}
Das letztere Integral entnimmt man
am einfachsten einer Formelsammlung,
es führt auf ln- bzw. arcsin - Terme, je nach
Vorzeichen von C_1,a,b.
mfg
Orion
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 212
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 22:23: |
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deine rechnungen sind vollkommen korrekt
wir haben uns da aber anscheinend missverstanden.
mit meiner frage noch einer expliziten lösung wollte ich nicht wissen, wie man das integral löst, sondern ab eine möglichkeit besteht eine explizite darstellung der lösungsfunktion in der form:
y=f(x) zu erhalten oder bleibt mir nichts anderes übrig, als mit der umkehrfunktion zu rechnen?
MfG Theo |
