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Ooviele Primzahlen der Form 4x+3

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Zahlentheorie » Ooviele Primzahlen der Form 4x+3 « Zurück Vor »

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Hussi
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 09:01:   Beitrag drucken

Hi Leute,
ich suche den Beweis dafür, dass Euklids Beweisidee für die Existens von unendlich vielen Primzahlen sogar unendlich viele Primzahlen der Form 4x+3 (xeZ) liefert.
Danke
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nicht Intelligent genug
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 00:35:   Beitrag drucken

Was ich nicht verstehe:

für welche x soll 4x+3 denn eine Primzahl sein?

also für 0, 1, 2,
4, 5,
7,
10, 11,
14,
16, 17,
19, 20,
22,
25, 26,
31, 32,
34,
37,
40, 41,
44,
47,
49,
52,
55, 56,
59,
62,
65,
67,
70,
76, 77,
82,
86,
89,
91,
94, 95,
104,
107,
109,110, ist 4x+3 eine, bloß...

ich kann da kein Schema erkennen.

??
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immer noch nicht intelligent genug
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Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 12:01:   Beitrag drucken

Hi Hussi, wie ist das mit 4x+3 gemeint?
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Ingo
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 01:15:   Beitrag drucken

Na hat er doch gesagt :
{4x+3 |xÎIN} enthält unendlich viele Primzahlen,aber halt nicht nur Primzahlen.
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geschnallt
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 02:10:   Beitrag drucken

Er hat das x nicht näher bezeichnet.
Das musste ja auch gesagt werden.
Ich hab erst schon gedacht, er hat nur bis 3 gezählt...


Aber jetzt mal rein intuitiv, ohne strenge Beweisargumentation:
Wenn eine Zahl Primzahl ist, so ist sie entweder 4x+3 oder 4x+1.
Wenn es nur endlich viele der Sorte 4x+3 gäbe, müsste es ja
(da es unendlich viele überhaupt gibt), unendlich viele der Sorte 4x+1 geben.

Warum sollte da ein Ungleichgewicht bestehen?
Eine solche Asymmetrie wäre in der Natur höchst bemerkenswert.
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Hussi
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 02:36:   Beitrag drucken

Hi Jungs,
ich bin Hussi und übrigens eine sie, die Lösung kann ich euch nächsten Donnerstag präsentieren,
da meld' ich mich dann nochmal
so long Hussi
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Jörg
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 12:35:   Beitrag drucken

Hallo zusammen!

Ich habe da eine Idee, wie man dem Problem auf die Spur kommen könnte.
Meiner Meinung nach sind die Zahlen 4 und 3 entscheidend, wenn man sich darüber Gedanken macht, ob das Polynom 4x+3 unendlich viele PZ liefert.
Ein kleines Gedankenspiel:
Wenn man nicht 4x+3, sondern z.B. 4x+2 hätte, käme man nur auf eine einzige PZ, nämlich auf 2 für x=0.
Hätte man hingegen 4x+4, ergäbe sich keine einzige PZ für x e N. Schließlich ist 4x eine gerade Zahl und 4x+4 ebenso.
Wenn man nun einen Blick auf 4x+2 und 4x+4 wirft, stellt man fest, daß 4 und 2 bzw. 4 und 4 nicht teilerfremd sind. Bei 4x+3 hingegen sind 4 und 3 durchaus teilerfremd.
Wenn Polynome 1. Grades mit teilerfremden Koeffizienten jeweils unendlich viele PZ liefern, müßten sowohl 4x+1 als auch 4x+3 unendlich viele PZ enthalten, was ja auch schon angedeutet wurde.
Wenn das so ist, müßte es unendlich viele PZ geben, die bei Division durch 4 den Rest 1 oder 3 lassen, was ja auch so sein muß, denn eine Division durch 4 läßt ja nur die Reste 0,1,2,3 zu, wovon 0 und 2 ausscheiden, weil wir es sonst mit einer geraden Zahl zu tun hätten.
An dieser Stelle komme ich nicht weiter, aber meine Vermutung lautet, daß für alle ax+b unendlich viele PZ herauskommen, wenn a,b teilerfremd.

Gruß

Jörg
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 21:24:   Beitrag drucken

Hallo allerseits (Jungs, wie auch Mädels ;-),

Jörg: Mit der Vermutung, dass es mit ggT(a,b) = 1 immer unendlich viele Primzahlen der Form ax + b gibt, hast du Recht.

Hussy: Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen
4x1 + 3, 4x2 + 3, ..., 4xn + 3.

Das Produkt dieser n Primzahlen sei z. z ist dann als Produkt ungerader Zahlen ungerade.

Fall 1: z = 4a + 3.
Setze w = z + 4. Dann ist w = 4b + 3 (mit b = a + 1) und daher nach Annahme keine Primzahl. w ist mit Sicherheit durch keine der n Zahlen 4xi + 3 teilbar, da sonst 4 durch 4xi + 3 teilbar wäre. Da w ungerade ist, hat somit w nur Primfaktoren der Form 4x + 1. Das Produkt von Zahlen der Form 4x + 1 ist aber wieder von der Form 4x + 1 (klar wieso?). Widerspruch!

Fall 2: z = 4a + 1. Setze w = z + 2. Dann ist w = 4a + 3. Mache weiter wie im Fall 1.
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An Hussi!!
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 21:33:   Beitrag drucken

Hi Hussi, Donnerstag ist schon vorbei!
(Wo bleibt die Meldung? MfG)
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An An Hussi
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 21:50:   Beitrag drucken

Schau doch mal auf den Kalender!
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An An An Hussi
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 23:23:   Beitrag drucken

Warum soll ich auf den Kalender schauen?
Dass Donnerstag der 7. Dez schon vorbei ist, hab ich auch so im Gefühl.
Du etwa nicht...?
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Hussi
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 23:25:   Beitrag drucken

Hi Leute,
sorry ich wollte mich schon lange melden, aber ich war krank, ok schlechte Entschuldigung ich hätte trotzdem schreiben können, aber der wahre Grund ist, dass ich dachte wir verbessern diese Aufgabe am Donnerstag in der Uni, aber dies war nicht der Fall und wie der Korrektor meine Lösung fand kann ich also auch noch nicht sagen. Also habt bitte noch bis wahrscheinlich nächsten Dienstag Gedult.
Macht's gut
Hussi
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Hussi
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Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 20:06:   Beitrag drucken

Hi Leute,

ich weiß man hat lange nichts von mir gehört, aber von selbst kam ich nicht auf die Lsg, ich hab jetzt zwar endlich eine Muster-Lsg, aber ich hab sie nicht richtig kapiert, aber ich denke sie ist der von Zaph recht ähnlich.
Großes Lob an Zaph: bei Dir hab ich's eher gecheckt was Du meinst, als bei der Lsg unseres Profs.

Z.z.: es existieren 00-viele Primzahlen pz der Form: 4k+3 keN+{0}
Betrachte: an =2*(3*5*...*pn) + 1 (*)
In der Klammer stehen lauter
ungerade Zahlen, also ist auch
ihr Produkt ungerade.
an=2*(2k+1)+1=4k+3
Offensichtlich gilt: an/4 läßt Rest 3
z.z.ist jetzt, dass es unter den Primteilern von an mindestens einen gibt, der beim Teilen durch 4 den Rest 3 läßt.
Zu (*) pn ist die n-te Primzahl
Nun kann an nicht nur Primteiler der Form 4k+1 enthalten, denn (4k+1)(4m+1)läßt bei Division durch 4 den Rest 1. Da an ungerade ist enthält an also mindestens einen Primteiler der Form 4k+3.
Wie in Euklids Argument wird dieser Primteiler mit keiner der ersten n Primzahlen identisch sein. Mithin gibt es oo-viele Primzahlen der Form 4k+3!
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 20:32:   Beitrag drucken

Danke für dein Kompliment!

Welchen Schritt deines Profs hast du nicht verstanden?
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Hussi
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 23:28:   Beitrag drucken

> Nun, warscheinlich steh ich ziemlich auf der Leitung und komme auch recht
> schlecht mit soviel Text zurecht, aber ich versteh nicht warum man nach
> mindestens einem Primteiler von a(n) sucht der beim Teilen durch 4 den
> Rest
> 3 lässt und warum man am Schluß einfach sagen darf : Wie in Euklids
> Argument
> wird dieser Primteiler mit keiner der ersten n Primzahlen identisch sein.
> Deine Lösung ist echt gut verständlich!
> Wir hatten in unserer Übungsgruppe folgende Lösung abgegeben (die
> ehrlicherweise auch nicht von mir stammte, ich konnte sie aber wenigstens
> ohne Probleme nachvollziehen:
> es existieren oo-viele Primzahlen der Form 4k+3 mit keN und 3 teilt nicht
> k
> und q(1),..,q(n) sind Primfaktoren
> dann sei a : = 2^2*k+3 mit k= q(1)*....*q(n)
> es existiert eine Primzahl die a teilt
> Fall 1:
> für p=2
> mit p/a und p/2^2* k muß nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik (FdA)
> auch gelten p/3 Widerspruch
>
> Fall 2:
> für p=q(i)ungleich 2
> für ein i = [1,r] ieN es soll gelten 3 teilt nicht q(1)*..*q(n)
> mit p/a, da 3teilt nicht k und p/q(1)*..*q(n) muß nach FdA gelten: p/3
> Widerspruch
>
> es existieren aber oo-viele k mit 3teilt nicht k
> daraus folgt: es existieren oo-viele Primzahlen der Form 4k+3
>
> Danke für Deine Bemühungen!
> Hussi
>
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Maria
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Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 10:54:   Beitrag drucken

Hallo,

ich brauche eine Formel, bzw. die Rechnung, wie ich rausfinden kann, an welchem wochentag Goethe geboren wurde ( 28.08.1749 ).
Und welcher Wochentag am 20.08.2008 ist.
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 18:36:   Beitrag drucken

Hallo Hussi,

wenn es nur endlich viele Primzahlen der Form 4k + 3 gäbe, dann musst du n so groß wählen, dass p(n) größer als die größte Primzahl der Form 3k+1 ist.

Dann hast du den Widerspruch, denn einerseits enthält a(n) einen Primteiler x der Form 4k+3 (das wurde ja gezeigt), und andererseits ist x aber kein Teiler von a(n), da p(1), ..., p(n) keine Teiler von a(n) sind (nach Euklids Argument) und da nach Wahl von n die Zahl x einer der Werte p(1), ..., p(n) ist.

Die Lösung deiner Übubngsgruppe konnte wiederum ich nicht ganz nachvollziehen. Schon alleine mit deinen Sätzen habe ich Probleme. Von was sind denn die q(i) Primfaktoren? Was meinst du mit "es existiert eine Primzahl die a teilt"? Das ist doch wohl klar!?
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 18:41:   Beitrag drucken

Hallo Maria,

stell deine Frage am besten noch einaml unter einer anderen Rubrik. Klicke dazu auf "Deine Frage hier" und such dir eine passende Rubrik aus. (Z. B. Klasse 11, Sonstiges) und dann auf "Neuer Beitrag".
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???
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Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 22:04:   Beitrag drucken

Mir ist nicht klar wieso das Produkt aus Zahlen von 4x+1 wieder von der Form 4x+1 sein muß, kann mir da jemand helfen?
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???
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Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 22:08:   Beitrag drucken

Meine Frage hat sich eben erledigt!

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