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Tanja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 21:59: | 
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Hallo,
ich sitze hier an einer Aufgabe und komme nicht weiter. Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus:
Sei -unendlich < a < b < unendlich und f:[a,b] -> R sei stetig auf [a,b] und differenzierbar in (a,b). Ferner sei L >= 0 aus R. Zeigen Sie, daß die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:
a) Es ist |f'(x)| <= L, a < x < b.
b) Es gilt |f(y)-f(x)| <= L|y-x|, x,y € [a,b]. |
Nicetray
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 13:31: |
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Hallo Tanja ;)
Schau doch noch mal in der Def. der Differitiation nach. vorallem das mit dem ksi€[a,b] (in unserem Fall ist es x) Ich hoffe, ich konnte dir da ein bizzi weiterhelfen.
Nice |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 258
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juni, 2002 - 08:09: |
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Tanja :
Wir zeigen zunächst die Implikation
a) ===> b) :
Sei etwa a =< x < y =< b.
Wegen der Voraussetzungen lässt sich der
Mittelwertsatz (MWS) anwenden. Danach
gibt es ein t mit x < t < y sodass
f(y) - f(x) = (y - x)*f'(t) ===>
| f(y) - f(x) | = | f'(t) |*| y - x | =< L*| y - x |
Umgekehrte Richtung b) ===> a) :
Für jedes x in (a,b) gilt (Def. der Ableitung)
f'(x) = lim[y-->x]{(f(y) - f(x))/(y-x)} = f'(x) ===>
| f'(x) | = lim[y-->x] {|f(y) - f(x) |/ |y - x | }.
Für alle x,y in (a,b) mit y <> x ist
| f(y) - f(x) | / |y - x | =< L, folglich auch
| f'(x) | =< L.
mfg
Orion |
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