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nadine
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 14:16: | 
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habe verschiedene aufgaben bei denen gezeigt werden soll das die Funktionen f_n: D->R auf D punktweise konvergent sind.
kann mir jemand erklären, wie man das zeigt, die Definitionen in Büchern helfen mir nicht weiter und ich finde auch keine beispielaufgabe.
kann es mir jemand anhand f_n = n-te Wurzel aus x erklären?
bin für jede hilfe dankbar!
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 00:26: |
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Hallo Nadine,
ich nehm lieber das Beispiel f(x)=x^n. Es sei 0<=x<=1. Dann ist f_n(x)=x^n punktweise konvergent auf [0,1] und die Grenzfunktion (im folgenden mit ´fg´ bezeichnet!) ist gegeben durch:
fg(x)=0 falls x aus [0,1)
fg(x)=1 falls x=1
(Denn: Es sei 0<=a<1 (*). Dann ist f(a)=a^n.
Wegen (*) =>
|a^n-0| -> 0 (n->oo).
Ist a=1, so ist f(a)=1^n=1.
=> Behauptung)
Zu der Definition von punktweiser Konvergenz:
Du mußt zeigen, dass für alle x, aus einer Teilmenge deines Definitionsbereiches, die Funktionenfolge f_n gegen einen festen Wert konvergiert bei n->oo.
D.h. für ein beliebig gegebenes epsilon>0 muß für alle x, für die f_n(x) punktweise konvergent sein soll, gelten:
Es gibt ein N=N(epsilon,x) so, dass |f_n(x)-fg(x)|<epsilon für alle n>=N(epsilon,x). Hier sollte man beachten, dass in dieser Definition das N(epsilon,x) auch von x abhängig sein kann (aber nicht muß). Das ist wichtig, wenn du später mal an die Untersuchung zur gleichmäßigen Konvergenz kommt.
"Grob gesagt heißt punktweise Konvergenz:
In jedem (zu untersuchemdem) Punkt x existiert der Grenzwert von der Funktionenfolge f_n(x)=fg(x)!"
So, ich finde das etwas kompliziert zu erklären, ich hoffe, dass ich da nichts missverständlich formuliert habe und nicht aus Versehen die Definition der gleichmäßigen Konvergenz noch mit ins Spiel gebracht habe. Vielleicht kann es ja noch sonst jemand etwas leichter und verständlicher erklären!
Tschau
Gast2 |
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