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Silke
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 07:21: | 
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Kann mir jmd nen Tipp geben.Das wär sehr nett.
Zeigen Sie:Der Raum C[a,b]ist bez.der Norm ||f||:=(Int a...b |f(x)|^2dx)^1/2 NICHT vollständig.
Danke} |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 17:19: |
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Du mußt eine Cauchy-Folge finden, die nicht konvergiert. Denn ein metrischer Raum ist dann vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
Tschau
Gast2 |
Sarah
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 18:12: |
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Diese Aufgabe interssiert auch mich sehr. Hat vielleicht jemand ein gutes Beispiel für eine Cauch-Folge, die nicht konvergiert; das wäre echt toll! |
Kyros
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 21:47: |
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zuerst mal @Sarah und Gast2:_ jede_ Cauchy-Folge konvergiert, bei der Vollständigkeit eines Raumes geht es darum, dass eben jede Cauchy-Folge in dem entsprechenden Raum konvergiert!
Nun die Antwort:
Ich gehe mal davon aus, dass C[a,b] der Raum der im Intervall [a,b] stetigen Funktionen ist. Man muss also eine Folge stetiger Funktionen finden, die gegen eine nicht-stetige konvergiert. OBdA sei nun a<=1<=b, sonst muss man den sin halt ein bißchen stauchen. f(x):=1 für x=(2k+1)*pi/2 (für k aus den ganzen Zahlen, und f(x):=0 sonst. Die Funktionenfolge f_n(x)=(sin(x))^n konvergiert genau gegen die Funktion f(x), die aber nicht stetig ist! Deswegen ist C[a,b] nicht vollständig.
HTH Kyros
P.S. Schreibst bei Fragen einfach ne Mail, weil ich nicht allzu oft in's Forum gucke, die Antwort kann ich ja trotzdem hier posten... |
Sarah
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 21:56: |
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Hi Kyros!
Vielen Dank für Deine schnelle Hilfe.
Auf bald!
Sarah |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 01:15: |
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Hallo Kyros,
jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge, aber nicht jede Cauchy-Folge ist konvergent. Dies gilt in einem vollständigen metrischen Raum. Denn wenn der Grenzwert nicht mehr in dem Raum liegt, dann konvergiert die Folge auch nicht in dem Raum!!!
Betrachte etwa x(n+1)=1/2(xn+(2/xn)). Dann ist (xn) (mit x0:=2) eine Cauchy-Folge in IR,d|.| und somit auch in (Q,d|.|), aber nicht konvergent in (Q,d|.|), denn sonst wäre Wurzel(2) rational!!! (Bemerkung: Die Vollständigkeit hängt auch von der (Betrags-)Metrik ab!)
Tschau
Gast2 |
Silke
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 06:18: |
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Vielen herzlichen Dank auch von mir!!! |
Kyros
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Juni, 2002 - 11:40: |
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@Gast 2: Du widersprichst mir überhaupt nicht! Ich hab ja selbst so eine Folge angegeben, die aus C[a,b] ist, aber darin nicht konvergiert, obwohl sie z.B. auf dem Raum aller Funktion konvergiert. Und auch deine Cauchy-Folge konvergiert, wie du richtig sagst, nicht in Q, aber in IR!!
MfG Kyros |
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