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Primzahl

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Ingo
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Juni, 2002 - 13:10:   Beitrag drucken

Hi!

Ich habe eine Frage:

Wie kann ich zeigen, dass die Summe von j=1 bis n über j (also 1+2+3+...+n) genau
dann ein Teiler des Produktes von j=1 bis n über j ist (also 1*2*3*...*n) wenn
n+1 keine ungerade Primzahl ist?

Am besten rechnet man doch statt mit der Summe von j=1 bis n über j mit der Formel
n(n+1)/2 die ja der Summe entspricht, oder? Aber wie genau geht das...?

Schonmal Danke!
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epsilon
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Juni, 2002 - 18:15:   Beitrag drucken

Hi Ingo,

Dein Anfang ist vollkommen richtig!

(1*2*3*...*n)/(n*0,5*(n+1)) = (1*2*...*(n-1))/(0,5*(n+1)) muss ganzzahlig sein, wenn sie Summe ein Teiler des Produktes ist.

Wenn n+1 gerade ist (nicht prim), dann ist (n+1)/2 eine ganze Zahl <n, also einer der Faktoren zwischen 1 und n, und damit kürzbar => ganzzahlig.

Wenn n+1 ungerade ist, aber keine Primzahl (also sicher n>7), dann ist z.B. (n+1) = p*q mit n > p,q > 1; dann können genau diese Zahlen gekürzt werden, und Produkt/Summe ist ganzzahlig.

Wenn n+1 dagegen eine ungerade Primzahl ist, dann ist es mit keinem der Faktoren zwischen 1 und n kürzbar => nicht ganzzahlig, also kein Teiler

Gruß epsilon

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