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Nadine (anja)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: anja
Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 09:31: | 
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Brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabe:
Man konstruiere einen Körper mit 16 Elementen und stelle alle Elemente nicht gleich 0 als Potenzen eines primitven Elements dar.
NAdine |
Nadine (anja)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: anja
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 11:52: |
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Ich bin mit der Aufgabe weitergekommen, habe dazu aber noch eine Frage: Wie kann ich beweisen dass x^4 + x + 1 irreduzibel ist! Ich weiss, dass ich zeigen muss dass es keine Nullstellen hat und es nicht in weitere Polynome zerlegt werden kann kann, aber wie zeige ich dies formal richtig? |
Juppy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 20:57: |
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Mit den Begriffen "primitives Element" oder "irreduzibel" kann ich nichts anfangen, aber dir wäre schon geholfen, wenn gezeigt würde, dass x^4 + x + 1 > 0 ist, ja?
Also:
zerlege x^4 + x + 1 = (x³ + 1)x + 1
für x€IR gilt entweder:
a) x < -1 oder
b) x=-1 oder
c) -1 < x < 0 oder
d) x=0 oder
e) 0 < x
a) für x < -1 gilt:
x³ < -1, also (x³ + 1) < 0 und da x < -1 ist, ist auch das Produkt aus den beiden negativen Zahlen (x³+1) und x positiv:
(x³ + 1)x > 0, also auch
(x³ + 1)x + 1 > 0
b) für x=-1 folgt sofort: x^4 + x + 1 > 0
c) für -1 < x < 0 gilt:
-1 < x³ < 0 , also 0 < x³ + 1 < 1
und mit einem negativen x mit -1 < x < 0 multipliziert folgt:
-1 < (x³ + 1)x
also
0 < (x³+1)x + 1
d) für x=0 gilt sofort (x³ + 1)x + 1 > 0
und für
e) 0 < x gilt auch (leicht nachzurechnen) (x³ + 1)x + 1 > 0
also gilt für alle x € IR
(x³ + 1)x + 1 > 0 und damit auch:
x^4 + x + 1 > 0
also hat x^4 + x + 1 keine Nullstellen für x€IR. |
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